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应用圆锥曲线焦半径公式巧求离心率

范文

于志洪吴秋芳

随着高中新课程把极坐标內容列入了选修系列4，因而极坐标的应用又成为高中数学的热点，本文主要介绍圆锥曲线统一的焦半径公式及其在求椭圆和双曲线的离心率时的应用，供大家阅读和参考.

一、圆锥曲线统一的焦半径公式

问题如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A、B两点，求FA、FB和AB的长.

可知抛物线的准线l：x=-p2，由A作AD⊥l于D，AE⊥Ox于E，由抛物线的定义知焦半径长|FA|=|AD|=|KE|=|KF|+|FE|=p+|FA|cosθ.|FA|=p1-cosθ类似地可得另一条焦半径长|FB|=p1+cosθ，以上就是抛物线的焦半径公式.

对于椭圆和双曲线采用类似的方法，可得下述结果：

过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点F作倾斜角为θ的直线，交椭圆于A、B两点，则有|FA|=ep1-ecosθ，|FB|=ep1+ecosθ，过双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点F作倾斜角为θ的直线，交右支于A、B两点，则有|FA|=ep1-ecosθ，|FB|=ep1+ecosθ，如果F是椭圆的右焦点，或F是双曲线的左焦点时，将|FA|与|FB|的结果对调.

将以上三种圆锥曲线所得结果加以整理，可写成统一的形式：

①|FA|=ep1-ecosθ，②|FB|=ep1+ecosθ.

有关圆锥曲线的焦半径的问题一直是高考的热点，利用上述焦半径公式解题，往往可以简化运算，简约思维，优化过程，且能给人耳目一新之感.

二、圆锥曲线统一的焦半径公式的应用

例1 （2010年全国I卷）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为 .

解：如图，设FB的倾斜角为θ，则cosθ=|FO||FB|=ca=e，

由BF=2FD|FB|=2|FD|ep1-ecosθ=2ep1+ecosθ11-e2=21+e2e2=13e=33，故填33.

点评：本题求椭圆的离心率，由于与焦半径有关，因而利用焦半径长|FB|=ep1-ecosθ和|FD|=ep1+ecosθ解题，可回避复杂运算，从而提高了解题的效率，简化了解题过程.

例2 （2009年全国II卷）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）

A.56 B.75 C.85 D.95

解：以F为极点，Fx为极轴建立极坐标系（如图），

设双曲线的极坐标方程是ρ=ep1-ecosθ.

利用圆锥曲线统一的焦半径公式|FA|=ep1-ecosθ.|FB|=ep1+ecosθ，由条件AF=4FB，知|FA|=4|FB|，即ep1-ecosθ=4ep1+ecosθ，又直线AB的斜率为3，则知倾斜角θ=π3，cosθ=12，因此上式化为11-12e=41+12e，解得e=65，故选A.

点评：本题求双曲线的离心率，原标准答案给出的解法运算量较大.而本文的解法，转化为极坐标的问题，巧用圆锥曲线统一的焦半径方式，简化了运算，充分体现了极坐标的优越性，因此，笔者建议：有关圆锥曲线焦半径的问题，请尽量选用本文介绍的方法.

为使读者能充分认识到极坐标在解题的作用，现将例2高考题的非极坐标解法也介绍如下，供师生对照比较.

解：如图，设lAB：

y=3（x-c），C：x2a2-y2b2=1，两方程联立得（c2-4a2）x2+6ca2x-4a2c2+a4=0 ①

设A（x1，y1），B（x2，y2），F（c，0），

所以AF=（c-x1，-y1），FB=（x2-c，y2），

因为AF=4FB，所以x1+4x2=5c ②

由①得x1+x2=6ca24a2-c2 ③

②、③联立，解得x1=8ca24a2-c2-5c3， ④

x2=5c3-2ca24a2-c2， ⑤

将④、⑤代入x1x2=a4-4a2c2c2-4a2，整理得e=65.

说明：从上述解题过程中可知：由于将④和⑤代入运算，显然计算量较大且很麻烦.

例3 （2010年全国II卷改编）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）过F且斜率为2的直线与C相交于A、B两点，若AF=3|FB|，则则椭圆C的离心率为 .

解：由|FA|=3|FB|ep1-ecosθ=3ep1+ecosθcosθ=12e，

如图，设AB的倾斜角为θ，因为kAB=2，所以tanθ=2，而0<θ<π2，故由1+tan2θ=1+sin2θcos2θ=1cos2θ得，1+（2）2=1cos2θ，从而cosθ=33（负值舍去），所以由cosθ=12e，求得e=32.

点评：本题由于运用了焦半径公式解题，不仅避免了联立直线方程与椭圆方程和所带来的求A、B两点坐标的繁琐运算，而且快速简捷地求得了结果.

综上所述可知：有关圆锥曲线的焦半径问题，是近年来高考必考内容，因此高二师生在复习时要高度重视.

应用圆锥曲线统一的焦半径公式解答有关的高考题，可回避联立直线方程与圆锥曲线方程，解方程组而带来的繁琐运算，极大地简化了求解过程，因此对于这类问题应尽量选用本文方法，优化解题.

由于圆锥曲线统一的焦半径公式在高考中的应用是极其广泛的，因而引导学生学习高中数学新课程选修系列4《坐标系与参数方程》内容，有利于帮助同学们全面理解平面解析几何的知识，有利于培养同学们探索精神和创新意识，有利于弥补高中平面解析几何中原有课程知识点的不足，符合新课程改革关于“以课程标准为指导，以教材为基础，合理使用课本，加强教学研究”的理念要求，对于提高同学们的综合解题水平，对于激发同学们学数学用数学的积极性，对于教师提高教学质量，均颇有益处.

总之，我们要注意极坐标应用的研究，要引导同学们通过专题讲座的探究，使同学们更加热爱数学，对数学产生浓厚的兴趣.

附练习题

1.设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1垂直x轴的弦长等于F1到l1的距离，则椭圆的离心率是（1999年全国高考题）

（提示）：将右焦点换成左焦点F2，右准线换成左准线l2则结论不变，以F2为极点，垂直于l2的射线F2x为极轴建立极坐标系如图，则椭圆方程为ρ=ep1-ecosθ由已知得AB弦长的倾角为π2，|AB|=ρ代入二次曲线过极点（焦点）的弦公式为|AB|=2ep|1-e2cos2θ|=2ep|1-e2cos2π2|=2ep=p，所以e=12.）

2.（2010年辽宁理（20）题）设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F，过F点的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF=2FB，求椭圆C的离心率.

（提示）：|AF|=ep1-ecos60°，|BF|=ep1+ecos60°，由|AF|=2|BF|e=23.）

（作者：于志洪、吴秋芳，江苏省泰州市）

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