标题 | 聚焦《坐标系与参数方程》高考题型 |
范文 | 刘春雷 坐标系与参数方程,作为新课标高考选考内容(占10分),由于难度不大,备受考生青睐.该题以解答题的形式出现,一般有两小问.让我们一起来看看极坐标与参数方程的考查的重要题型. 题型一、极坐标与直角坐标的互化 曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化,只需利用公式ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,为了利用公式,有时需对给出的式子进行恰当变化,如两边平方、两边同乘ρ等. 例1?在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为3ρcosθ+ρsinθ-3=0,C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π6). (1)求直线l和C的普通方程; (2)直线l与C有两个公共点A、B,定点P(2,-3),求||PA|-|PB||的值. 解析:(1)利用公式ρcosθ=x,ρsinθ=y得直线l的普通方程为:3x+y-3=0, 因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-π6), 所以ρ2=4ρ(32sinθ-12cosθ), 所以圆C的普通方程x2+y2+2x-23y=0. (2)直线l:3x+y-3=0的参数方程为:x=2-12ty=-3+32t(t为参数), 代入圆C的普通方程x2+y2+2x-23y=0消去x、y整理得:t2-9t+17=0, 则|PA|=|t1|,|PB|=|t2|, ||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1-t2| =(t2-t1)2=(t2+t1)2-4t1t2 =92-4×17=13. 点评:本题考查的是直线与圆的位置关系,需首先把直线与圆的极坐标方程转化为直角坐标方程.本题对圆C的极坐标方程两边同乘以ρ,转化为含有ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,从而为将其转化为直角坐标方程创造条件. 题型二、极坐标方程的应用 直接应用极坐标一般也可以求出曲线的交点坐标,解决距离问题和图形面积等,但有时直接用极坐标运算比较麻烦,这时往往将其转化为直角坐标来计算. 例2?在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为(2,π3),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值. 解析:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cosθ.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积 S=12|OA|·ρB·sin∠AOB =4cosα·|sin(α-π3)| =2|sin(2α-π3)-32|≤2+3. 当α=-π12时,S取得最大值2+3.所以△OAB面积的最大值为2+3. 点评:本题直接利用极坐標的几何意义解题十分方便,故无需转化为直角坐标方程,体现出应用极坐标有时比应用直角坐标更优越. 题型三、参数方程与普通方程的互化 将参数方程转化为普通方程,其实就是将两个方程式中的参数消去,最后变成一个方程,转化时一要注意参数的取值范围;二要注意消参方法的恰当应用,如代入消元法,加减消元法,平方后再加减消元法等.而普通方程化为参数方程时,先合理引入参数t,再确定参数t与变量x或y的一个关系式x=f(t)(或y=φ(t));最后根据普通方程F(x,y)=0,求出y=φ(t)(或x=f(t)). 例3?已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1+4cosθy=2+4sinθ(θ为参数),直线l经过定点P(3,5),倾斜角为π3. (1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程; (2)判断直线l与曲线C的位置关系. 解析:(1)x=1+4cosθy=2+4sinθ,即x-1=4cosθ(1)y-2=4sinθ(2) (1)2+(2)2得曲线C:(x-1)2+(y-2)2=16, 因为直线l经过定点P(3,5),倾斜角为π3.所以直线l的参数方程为x=3+12ty=5+32t(t为参数). (2)直线l的普通方程为3x-y+5-33=0,圆C:(x-1)2+(y-2)2=16的圆心为(1,2),半径为4,因为圆心到直线l的距离为d=|3-2+5-33|2=23-32<4,所以直线l与曲线C相交. 点评:本题主要考查参数方程和直角坐标方程互化.直线与曲线的位置关系的判断一般转化为直角坐标方程,在直角坐标系中判断比较方便.当然本题也可将直线的参数方程直接代入圆的普通方程,进而通过考察该方程的根的情况来判断它们的位置关系. 题型四、参数方程的应用 应用参数方程解题时,需关注参数的几何意义,利用参数的几何意义,能使解答过程更快捷. 例4?平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x-1)2+y2=1.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为π6. (1)求圆C和直线l的参数方程; (2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值. 解析:(1)由曲线C:(x-1)2+y2=1, 得参数方程为x=1+cosθ,y=sinθ(θ为参数). 直线l的参数方程为x=m+32t,y=12t(t为参数). (2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入x2+y2=2x中, 得t2+(3m-3)t+m2-2m=0, 所以t1t2=m2-2m,由题意得|m2-2m|=1,得m=1,m=1+2或m=1-2. 点评:(1)对于形如x=x0+at,y=y0+bt(t为参数),当a2+b2≠1时,应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解. 题型五、极坐标方程与参数方程的综合应用 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.这是高考中“出镜率”最高的题型. 例5?在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为x=m+ty=t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,点F的极坐标为(22,π),且F在直线l上. (1)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|FA|·|FB|的值; (2)求曲线C内接矩形周长的最大值. 解析:(1)∵点F的极坐标为(22,π), ∴直角坐标为(-22,0), 由题意得-22=m+t0=tm=-22, ∵曲線C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,∴直角坐标方程为x2+3y2=12. 将直线l的标准参数方程x=-22+22t′y=22t′(t′ 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于035m3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 x1=150(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 x2=150(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35. 估计使用节水龙头后,一年可节省水 (0.48-0.35)×365=47.45(m3). 点拨:该题考查的是有关统计的问题,涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数,在解题的过程中,需要认真审题,细心运算,仔细求解,就可以得出正确结果. |
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