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人教A版高中数学教材若干问题的商榷

范文

徐小琴张静

对高中数学教材中函数定义、指数函数引例、任意角的表示、等差数列中的省略符号、几何概型中转盘表示等案例提出质疑，并提出若干编写建议，意在引导学习者研读教材、质疑教材、重构教材，从而激发学习者的科学精神、批判精神、创新精神。

人教A版? 数学教材? 编写建议

教材的作用是系统的传授知识。章建跃先生认为，教材的科学性体现在教材内容的准确性，包括素材的准确性，概念原理的正确性，问题解答正确无误，用词、术语、符号、图表规范等[1]。教材是使得教学活动按照一定组织方式、逻辑顺序、知识体系顺利进行的载体，是教师的教与学生的学的联系枢纽。教材不仅反映了课程改革的理念，也是指导教师课堂教学、学生学习的依据[2]。

一、函数定义不相称

概念的定义是准确揭示一个概念的内涵和外延的逻辑方法，要使概念的定义合理、表述正确，应该遵循以下四条规则：第一，定义要相称;第二，定义不得循环、反复;第三，定义要简明;第四，定义一般不用否定形式[3]。仔细研读高中数学教材函数的定义，发现其定义不科学，与概念定义规则中的“定义要相称”相悖。

例1? 关于函数的定义，人教A版高中教材给出的定义为[4]：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f（x），x∈A.

显然，高中函数定义的是一元函数，而一元函数与二元函数、多元函数的外延并不相同，即定义项的外延大于了被定义项的外延，定义过宽。教材是教学实施的基本资料，是多数一线教师、学生知识获取的主要来源，具有权威性与浓厚的信任色彩，定义应该做到精确、科学。函数定义建议更改为“那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个一元函数（function）”。

二、指数函数引例不科学

例2 指数函数及其性质一节，在引入新课的环节设计了生物体碳14的含量P与死亡年数t之间的关系P=（■）■（t？叟0）与人口增长模式y=1.07x（x∈N*，x≤20）。从这二式的共同特征中抽象出了指数函数，进一步给出指数函数的定义，即函数y=ax，（a>0且a≠1）且叫作指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域是R.

我們通过对定义的观察发现，指数函数是有一定结构形式的，即y=ax其中自变量x作为指数，也就是说此处的指数若为2x，3x，■x…形式的都不是指数函数。基于此P=（■）■，就不是指数函数，正确的形式应改为P=[（■）■]■.

根据生物碳14的衰减规律来推断生物死亡年数，我们不难发现此处自变量t∈Z，而指数函数y=ax中自变量x∈R，且形式应严格化为形式P=[（■）■]■.作为指数函数的引例应该要内容的准确和形式的规范，本例中的函数式严格意义上说不满足指数函数定义，混淆学生对概念的理解。函数是对现实世界数量关系的抽象表示，函数本身不具有现实意义，需通过函数具有的性质并结合现实意义产生效力作用于现实世界。反之，实际生活的数据需要抽象出数，再借助函数表示，而抽象的过程不可省略。

三、任意角表示不规范

例3人教A版必修4第一章第2节任意角的三角函数“如图，设？琢是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）[5].”教材用图1的？琢角表示任意角的方式是不规范的。

图1的角？琢显然是一个属于（■，？仔）的钝角，位于第二象限，以x轴正方向为始边，以OP为终边的角。其旋转量及角度是固定的，具有特殊性。教材此处用这样的一个特殊角来表示具有一般性的任意角显然是不规范的。也有研究认为用图2的方式表述任意角[6]，但是此处角的概念为圆弧所对的圆心角，即始边与终边的夹角，应将角标注在始边与终边之间，而标注在终边之上仅能表示终边与单位圆的交点，与交点P重复，与任意角的表述也大相径庭。因此，笔者认为在表述任意角时去掉旋转量，仅标注角？琢，既能充分表示角的任意性，还能让学习者充分想象角的正负性（旋转方向顺时针或逆时针）。角的始边与轴正方向重合，旋转方向决定角的正负，终边为OP。

四、等差数列省略符号意难测

例4 人教A版高中数学教材必修5等差数列一节习题2.2（A组），教材40页第5题，给出某种昆虫爬行速度的记录，如下表所示[7]。

问题需要学生建立等差数列的模型，表示甲虫爬行距离与时间之间的关系。

根据已有数据难以确定甲虫的爬行距离与时间之间满足等差数列的定义，因为省略号部分的运动情况不得而知，或许单位时间内甲虫的爬行距离逐渐缩短，亦或甲虫某个时间段停滞不前。

省略号的使用是判定数列是否为等差数列的陷阱。省略号省去的部分未必按照前面的规律传递下去，此时省略号不具有传递性。因此，笔者建议在表述等差数列时，一种是穷举，即将数列每一项表示出来，如数列1，3，5，7，9，11，13，15。另一种是将等差数列的通项写出，如数列1，3，5，7，9，…，2n-1，…

五、几何概型转盘意义模糊

例5 人教A版高中数学教材必修3第135页几何概型。图3中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏。规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少[8]？

图3中转盘分为B，N两个区域，其中转盘分区规则、比例并未标注。如第一个转盘未注明小区域N，B的相同，大区域的N，B也相同。第二个转盘未注明转盘每个区域均匀划分。教材用“显然”两字得到区域的划分比例实属不易。建议在问题中注明转盘划分规则。本题转盘指针指向区域的概率本质为指针指向不同区域圆心角的范围。与区域面积或弧长、指针长度非本质联系。本题的转盘改为三角形、正方形、梯形等，其区域面积或弧长之比可能发生变化，而圆心角之比不变，此题结果不变。

参考文献

[1]中国教育学会.如何在教材编写中落实核心素养？[EB/OL].[2017-02-22].http：//www.sohu.com/a/126953497_387107.

[2] 严卿，胡典顺.中国和日本初中数学教材中问题提出的比较研究[J].数学教育学报，2016（02）.

[3] 翁凯庆.数学教育概论[M].成都：四川大学出版社，2007.

[4] 刘绍学，等.普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[5] 刘绍学，等.普通高中课程标准实验教科书数学必修4（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[6] 王佩，赵思林.对人教A版高中数学教材中几个问题的商榷[J].教学与管理，2018（02）.

[7] 刘绍学，等.普通高中课程标准实验教科书数学必修5（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[8] 刘绍学，等.普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

【责任编辑? 郭振玲】

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