| 标题 | 解读函数的“零点” |
| 范文 | 张敏 【内容摘要】函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.由此知，从“形”的角度来理解，函数的零点就是函数的图像与横轴的交点的横坐标;从“数”的角度来理解，函数f（x）的零点就是方程f（x）=0的解. 【关键词】函数 解读 一、函数的零点个数 因为函数f（x）的图像与x轴的交点个数，就是方程f（x）=0的解的个数，也就是函数f（x）的零点个数，所以要确定函数f（x）的零点个数有如下两个途径：①结合函数f（x）的图像与横轴的交点个数确定结论;②借助方程f（x）=0的解的个数确定结论。 二、函数零点的存在性 若函数f（x）在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·f（b）<0，则在区间（a，b）内函数y=f（x）至少有一个零点，即相应的方程f（x）=0在区间（a，b）内至少有一个实数解。 上述理论依据的内涵与外延： 1.由该判定方法可以得到函数f（x）在闭区间[a，b]上存在零点，但不能判断具体有多少个零点。 2.反之不一定成立，即若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，且函数f（x）在（a，b）内有零点，但不一定满足f（a）·f（b）<0。 3.若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，且f（a）·f（b）>0，则f（x）在（a，b）内可能没有零点，也可能至少存在一个零点。 4.如果函数的图像是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值的符号相同。 三、与函数零点有关的规律和特点 1.函数f（x）有零点函数f（x）的图像与x轴有交点方程f（x）=0有实数解。 2.函数F（x）=f（x）-g（x）有零点函数f（x）与g（x）的图像有交点方程f（x）=g（x）有实数解。 3.函数的零点个数与函数的单调性、奇偶性、对称性之间的关系。 （1）结合函数的单调性可确定唯一零点：若连续函数f（x）在[a，b]上是单调函数，且满???? 足f（a）·f（b）<0，則方程f（x）=0在[a，b]内有唯一零点。 （2）结合函数的奇偶性可确定零点成对出现：若连续函数f（x）具有奇偶性，则函数f（x）在y轴左右两侧的零点成对出现。 （3）结合函数的对称性也可确定零点成对出现：若连续函数f（x）的图像关于直线x=a（或点（a，0））对称，则直线x=a（（或点（a，0））左右两侧的零点成对出现。 4.借助函数的零点存在性理论，我们可解决如下问题。 （1）判断或证明方程f（x）=0在闭区间[a，b]内有实数解.先求f（a）和f（b）的值，若满足f（a）·f（b）<0，则有实数解。 （2）说明方程f（x）=0的根的分布情况.关键是找到函数f（x）的零点在哪些较小的区间内（即找到函数f（x）的图像与横轴的交点在哪些较小的区间内），这样就可以解决具体问题中方程的根的分布问题。 （作者单位：安徽省肥东县第二中学） |
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