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基于数学核心素养的几何推理论证入门教学的三个“注意”

范文

黄宝玉

摘要：在培养数学核心素养理念下的几何推理论证入门教学中，为了克服几何推理论证入门难关，发展学生的数学核心素养，教师应注意概念定理的探索发现与理解;培养学生几何识图能力，发展学生的逻辑推理素养;培养学生的几何语言表述能力。

关键词：初中数学;几何;推理论证;数学核心素养

如何搞好平面几何推理论证入门教学，以及如何在几何推理论证入门教学中发展学生的数学核心素养，是值得每一个数学教师深入研究的重要课题。本文主要探讨基于核心素养的平面几何推理入门教学中应注意的三个方面，供参考。

一、注意概念、定理的探索发现与理解

（一）重视概念和定理的引入方式

七年级是几何入门阶段，涉及的概念、命题、定理和公理众多，它们是推理论证的重要依据和基础。若此阶段教师没有考虑初一学生的心理特征和认知规律，势必会陷入教与学的两难境地。有研究表明：学习是在学习者已有经验的基础上，通过与外界相互作用而自主构建的过程。因此，教师应从学生原有的认知结构中发展新概念和定理：灵活采用操作、演示、选用贴近学生生活实际的教学案材、创设教学情境等教学方式和手段，来丰富学生的感性认识，并在此基础上逐步加工提炼，使新概念和定理的产生自然流畅，符合学生的认知规律。促进学生“数学想象”“数学推理”“数学直观想象”等数学核心素养的提升。例如，在等腰三角形“三线合一”教学时，可以让学生自己动手画图，从画图中探索发现“三线合一”定理：等腰三角形底边匕的高、中线、角平分线三线重合;又如在学习等腰三角形“等边对等角”这一性质时，让学生课前准备一个等腰三角形，在课堂上让学生动手量一量、折一折，探索发现“等边对等角”的性质。上述2个例子中教师通过让学生以动手操作的方式，探索发现新定理，并在此基础卜发展出新定理。增强了学生的感性认识，既强化了学生对几何的兴趣，又能使学生更深入地理解概念和定理的内涵和外延。

（二）注重文字语言与图形、符号语言的互译

几何概念、定理、公理的文字语言严谨简练，势必给学生的理解、掌握、运用造成一定困难，因此，在几何教学中，教师应把培养学生的文字语言与图形语言、符号语言之间的互译能力作为一项重要任务，结合具体图形把几何概念、定理、公理、推理的文字语言翻译为符号语言。例如：在初学“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行”这个定理时，可按下列步骤引导学生实现三种语言的互译：

步骤二：以文作图这样做，能增强学生对该定理的理解、领悟、运用，还能为以后“正确进行推理论证书面表达”奠定良好的基础。

二、注意培养学生几何识图能力

几何识图能力是几何推理论证的核心能力。七年级数学教材的例题和习题中蕴藏着丰富的基本图式，教师应注重挖掘和提炼、引导学生抽象概括此类图式的共同特征，归纳为基本图形，并应用于解题。鉴于以往学生在几何推理论证过程中，面对较为复杂的几何图形，难以完成探究任务，在几何推理论证入门教学时，教师应注重发展学生的识图、辨图、读图能力。

（一）加强基本图形的变式训练

基本图形的变式训练就是在维持原图本质特征不变的前提下，有意識地将图形的非本质特征，如形状、位置等进行多角度、全方位的变化，引导学生从“变”中发现“不变”，在认清图形本质属性的过程中，领略“万变不离其宗”的美妙人生境界及“以不变应万变”的思维方法。揭示图形的本质属性，发展学生的“几何直观”“空间想象”“逻辑思维”等数学核心素养。例如在学习同位角、内错角、同旁内角概念时，为了避免学生只会辨认“标准图形”的几种角（图2），教师可以在图2的基础上呈现不同状态的平行线的关系来进行变式训练，要求学生找出图3，图4、图5中的同位角、内错角、同旁内角。避免学生只会辨认图2位置的几种角，不认识其他位置的角，揭示了同位角、内错角、同旁内角的本质属性，真正形成概念。

（二）分解复杂图形训练

平面几何基本图形有点、线、角、三角形、四边形、圆等，它们通过一定方式组合成相对复杂的图形。《义务教育数学课程标准》在几何方面的学习要求学生：“能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直观来进行思考。”正确识别、分解基本图形，或根据残缺的基本图形添加辅助线构造出完整的基本图形，从而挖掘出隐藏在复杂几何图形中的数量关系和位置关系，是培养几何推理论证能力的有效途径。

例如：如图6，已知：C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN=BM。

此题把多个三角形有机组合在一起，并隐含了等边三角形、全等三角形等基本图形，它是一道典型的图形分解题型，从图形中分解出全等三角形是解决本题的最佳途径。

（1）要证AN=BM，需证明分别以AN、BM为边的两个三角形全等，因此要把这两个三角形从这个错综复杂的图形中分解出来。

（2）教学时，先让学生将以AN、和BM为边的三角形全找出来，它们是△ACN、△ABN、△BCM和△BAM（图7）。

（3）再分析要证出△ACN≌△MCB就很容易了：

∵△ACM，△CBN是等边三角形，

∴AC=CM，CN=BC，

又∵∠ACN=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+60°，

∴∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，

∴AN=BM

在解题时，教师要有意识地引导学生分解图形，舍去干扰图形，找出基本图形，逐步培养学生的识图能力，从而提升学生的几何推理论证能力。

三、注意发展学生的逻辑推理素养

解答几何推理论证题，清晰的逻辑推理是很重要的。逻辑推理是指从一些事实或命题出发，依据规则，推出其他命题或结论的素养。它是数学核心素养的重要组成部分，是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是学科严谨性、逻辑性的基本保证，它能帮助人们在数学活动中形成有条理、合逻辑的思维品质。平面几何推理论证作为发展学生数学逻辑推理素养的良好载体，教师要善于利用。如何在平面几何推理论证入门教学中发展学生的逻辑推理素养呢？笔者认为：几何推理题，看似难以捉摸，但思考问题的方法是一定的，教师应在平时的几何教学中有意识地教给学生思考、分析问题的方式方法，逐步培养学生的逻辑思维能力，发展数学核心素养，才能从根本上解决在入门阶段学生由于逻辑推理素养较弱造成的种种教与学困境。

几何中常用的分析问题的方法主要有以下三种：

1.综合法：综合法是从已知出发，运用相关定理，逐步推导到结论的方法，例如：

如图：△ABD和△BCE都是正三角形，求证∠5+∠2=60°

分析：已知△ABD是正三角形，由这个条件可得到∠3，∠BDA、∠BAD都为60°，AB=BD=AD，

又已知△BCE是正三角形，由這个条件可得到∠4、∠BCE、∠EBC都为60°，BC=CE=BE，由∠3与∠4都为60°，可知∠DBC=∠ABE，又由AB=BD，BE=BC，可得△DBC与△ABE全等，从而∠6=∠5，又因为∠BEC=∠6+∠2，而∠BEC=60°，得到∠5+L2=60°

这种从已知分析到结论的方法就是综合法。

2.分析法：分析法是从题目的结论出发，运用所学的定义、定理和公理，由果导因，一步步追溯到已知条件为止。

例如：如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。

分析：在△BDC中，BD是AC边上的高，即∠BDC=90°，为求∠DBC，可先求∠C的度数，在△ABC中，由已知条件∠C=∠ABC=2∠A可求得∠C的度数，设∠A=x，则∠ABC=2x，∠A=2x，用三角形内角和定理列方程x+2x+2x=180°，求出x即可知∠C的度数。

把上述分析过程倒写过来就是证法。

3.分析综合法：在解决较为复杂的问题时，一般是将这两种方法合并使用，还有些题目可以用分析综合法来寻找解题思路，分析综合法即从题目的“已知”与“求证”出发向中间靠拢的方法，俗称“两头凑”。

例如：已知△ABC是锐角三角形，以BC为直径作圆，交AB于G，作此圆的切线AD，切点为D，又在AB上取点E，使AE=AD，过点E作EF⊥AB，交AC延长线于F。求证：AE/AB=AC/AF

分析：如图，因为已知AE=AD，因此要证AE/AB=AC/AF，只要证AD/AB=AC/AF，又因为BC是直径，所以CG⊥AB，又由EF⊥AB得，GC//EF，所以可以推出AC/AF=AG/AE=AG/AD，干是问题可以转化为求AD/AB=AG/AD，即证AD2=AG·AB，这可由AD是切线可证。

如果能熟练运用这种以上几种分析问题的方法，学生解题时方向明确、思路清晰，就能大大提升推理论证能力，因此，教师在教学中要经常有意识地逐步培养、渗透、加强训练，逐步做到熟能生巧。

虽然几何推理论证对学生的理解和思维能力要求很高，但是几何推理能力的培养并不是完全不可捉摸的，培养学生逻辑思维能力，发展学生的数学核心素养，是一个漫长的过程，不能操之过急，必须从几何推理论证入门开始，有意识、有计划地，从简单到复杂，循序渐进，使学生逐步学会推理论证的方法。

参考文献：

[1]徐生根.数学思维的几种方法[J].初中数学教与学，2004，4（4）.

[2]白雪峰.发展学生的逻辑推理素养[J].中学数学杂志，2018，7（8）.

编辑谢尾合

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