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立足HPM教学，彰显数学文化

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侯代忠　周作雄

[摘要]HPM以其丰富的数学概念、思想、方法，深邃的人文底蕴，成为课程资源开发的重要载体。立足HPM，对数系教学做出优化和改进，其目的在于激发学生学习兴趣，使学生更好地理解数学、开阔视野，发展其数学核心素养，建构其正确的数学观，同时提升教学质量、彰显数学文化。

[关键词]HPM;数系教学;数学核心素养;数学文化

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号]2095—3437（2021）01—0048—05

《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》明确界定了核心素养，即学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的品格和关键能力。教育部颁发了新的课程标准，把发展学生的核心素养作为贯穿课程标准的主线，《高中数学课程标准》提出了6个核心素养。在课程实施中实现发展学生数学核心素养的目标，成为当下教学研究一个高度关注的问题。

学科核心素养的提出，是从以知识为中心的教学目标向以能力为核心的教学目标的转型，因而教学也应从单纯的以知识教学为主导的教学，向以发展学生能力为主导的教学转变，其中，文化元素起着十分重要的作用。在这个教育背景下，教学应当做到知识教学与文化教学的有机结合。在数学学科教学中，要培养学生的数学核心素养，必须考虑数学文化，因为它扮演着一个不可缺少的角色。2017年修订版《普通高中数学课程标准》（以下简称标准）颁布，其对数学文化的价值进行了深入诠释。标准中指出：“数学文化应融入数学教学活动。在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程……提升学生的科学精神、应用意识和人文素养，激发学生的数学学习兴趣，不断提升数学学科核心素养。”

数学史是数学文化的重要表现之一，它对增强数学文化的渗透，弘扬优秀传统文化，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养，激发学生的数学学习兴趣，让学生进一步理解数学，开阔视野、提升数学学科核心素养有着非常现实和深远的意义。HPM研究已经成为一线数学教师对数学文化与数学知识交互融合产生的新思考，在HPM教学实践中不断增强数学学科的课程思政能力，是一个值得广大教师深入探索回归数学教育本质的课题。

一、HPM：教学融入数学文化的载体

HPM是History and Pedagogy of Mathematics缩写，中译为数学史与数学教育。HPM有两方面的含义：其一是指HPM国际研究团队在国际数学教育会议上专门讨论数学史和数学教育融合;其二是指这个团队的研究对象“如何更好地让数学史与数学教育融合在一起，共同促进学生的核心素养发展”。HPM的功能有宏观与微观之分。宏观上：一是要把握数学发展的脉络，贯通数学的发展史，加深对数学思想、概念、方法、应用的理解;二是要理清数学学科的关系，有效整合数学学科，体会数学创新创造过程;三是形成对文化的历史认同感，把数学从课内导向课外，做到内外有机结合;四是强化数学史的文化传承，提升数学的人文价值。微观上：一是增强学生的学习动机和主动性，二是帮助学生形成正确的数学价值观，三是时刻保持和促进学生对数学的学习兴趣。其中汪晓勤教授将其总结为：HPM可以激发学生学习数学的兴趣，指导并丰富教师的课堂教学，培养学生的数学科学精神，启发学生的人格成长，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识，有效构建数学与人文之间的桥梁。

如何将数学文化元素融入教学中，喻平教授以为，教师在教学设计时要思索三个问题：①为什么要研究这个知识？②怎么研究这个知识？③这个知识有什么价值和意义？思考这三个问题，数学文化的味道就出来了。第一，为什么要研究这个问题？其必定与数学史关联，要在数学史中追寻谜底。找找产生这个问题的原因，从是社会需求还是数学学科发展需求两个方面来考量，从而显现陈香的数学文化。第二，怎么研究这个知识？这当然与数学思想方法密切相关。数学思想方法是文化的精华，通过揭示数学思想方法，弘扬科学家的理性科学精神、求真实务实态度，从而彰显深奥的数学文化。第三，这个知识有什么价值和意义？要回答这个问题，你就要思考这个知识有什么科学价值，有什么社会、经济建设应用价值，有什么学科美学价值，有什么思维训练价值，等等，进而激发出浓郁的数学文化。显然，考虑前面两个问题就与HPM产生必然联系，因此，立足HPM教学是融入数学文化的一个重要载体。

二、数系发展：写实记录数学文化的迹印

在中学数学内容中，数的扩充如图1所示。这是一个简单的图示，其实是经历了一个漫长的历史过程形成的，里面充滿了许多故事，留下了浓墨重彩的数学文化迹印。

负数产生的历史。我国古代著名的数学专著《九章算术》中，最早提出了正负数加减法的法则，三国时期的学者刘徽（约225—295年）对《九章算术》作了详细的注解，并最先给出了正负数的定义。东汉末年刘烘（206年）、宋代杨辉（1261年）也论及了正负数加减法则，元代朱世杰（1249—1314年）除了明确给出了正负数同号异号的加减法则外，还给出了正负数的乘除法则。然而，负数在国外得到认识和被承认比中国要晚得多。在欧洲14世纪最有成就的法国数学家丘凯（NieolasChuquet，1445—1500年）把负数说成是荒谬的数，直到17世纪荷兰人日拉尔（1629年）才首先认识和使用负数解决几何问题。

无理数的故事。毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—公元前500年）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理）。他提出“万物皆为数”的观点。一群毕达哥拉斯的门徒在海上泛舟，其中一位名叫希帕索斯的学者，因为有理数与无理数的争辩被毕达哥拉斯先生的理论学派的追随者扔进了海里，溺水而死。一位很有才华的数学家就这样被奴隶专制制度的学阀们扑灭了。实际上，希帕索斯（Hippasus，约公元前500年）发现了一个惊人的事实：“一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的”（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这次事件后，毕达哥拉斯学派的成员们确实发现不但等腰直角三角形的直角边无法去量准斜边，而且圆的直径也无法去量尽圆周，那个数字是3.14159265358979……更是永远也无法精确。慢慢地，他们感觉后悔了，后悔杀死希帕索斯的无理行动。他们认识到除有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。1872年，德国数学家戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831—1916年）从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，从而结束了无理数被认为“无理”的时代。

虚数的故事。虚数诞生于欧洲文艺复兴时期的三次方程求解。我们知道，二次方程可由简单变换，得到通解公式，当判别式为负值时无解。到了14世纪，数学家开始探索三次方程的求解，这个过程耗费了几代数学家的心血，直到16世纪的意大利数学家费罗（Scipione del Ferro，1465—1526年），首次得到了标准形式三次方程的通解，但费罗并未把他的解法公布出来，而是带进了坟墓。另一位数学家丰塔纳（N.Fontana，1499—1557年），在1535年得到了同样的通解公式，和他的前辈费罗一样，丰塔纳也秘密保守他的发现。另外一位数学家卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501—1576年）听说丰塔纳知道三次方程的求解方法，于是去请求他告知三次方程的解法。在卡尔达诺的多次请求下，丰塔纳告诉了他求解公式，但并未传授他公式的推导过程。

然后虚数i，就隐藏在这个看似复杂的公式当中，这个公式蕴涵了一个新数学领域的诞生，它需要一位超级天才去发现。从卡尔达诺的《大衍术》开始，200多年时间中，人们不断遇到负数的开方问题，但多采用不敢承认和回避的态度，于是虚数一直披着神秘莫测的外衣。到了1797年，威赛尔给出了虚数的图像表示，后来高斯在平面直角系中创立了点与复数之间的一一对应，并提出用数偶（a，b）来表示a+bi，才确立了复数的合理地位。

这些故事展现了数学真理发现的艰辛历程，反映了人类文明推进的艰难，同时，更加彰显了科学家不屈不挠探求真理的执着和为科学献身的精神。数系的发展史蕴含着丰富的文化元素、厚重的文化积淀，如果不挖掘这种以内隐形式潜藏于知识深层的课程资源，无疑是一种莫大的浪费，是资源的流失。

三、文化融入：数系教学设计的不同形式

HPM融入教学的方法有许多，其中就包括：在新课中运用数学史引入新概念，专门设计讲授“数学史”的课，利用历史上的数学教材设计课堂练习和作业，介绍历史上数学家成才的故事，举办数学历史主题的班会和讨论会，借鉴数学发展历史设计一個有关数学的教学方法，探索过去的错误观点、另类观点以帮助今天的学习者理解并解决数学困难，等等。

（一）HPM融入负数的教学设计——根据历史史实合理改编数学素材

1.情景设计

师：同学们能用以前学过的知识来解决下列问题吗？

（1）小梦买练习册一共花了4.5元钱，现在她有了5元钱，她还剩多少几元？

（2）若小梦手上只有4元钱，她能买到想要的练习册吗？为什么？

生：用小梦手中的钱减去本子的价格得：5-4.5=0.5。

师：那么第二问该怎么解答？（引导学生第二个问题也用手中的钱数减去本子的价格）

生：老师，我只会列出式子，不能得出答案：4-4.5=？。

师：其他同学是不是也是这样的答案，不够减？

（设计意图：构造无法计算、不能减的认知冲突，激发学生的求知欲。）

2.数学史介绍

师：大家不会做，其实是很正常的，因为历史上很多数学家也都曾经被这个问题困扰过。如代数学鼻祖丢番图（Diophantus，约246—330年），他在其著作《算术》中称4x+20=4的方程是没有意义的。同样，斐波拉契（Fi-bonacci，1175—1250年）在《花朵》中称方程x+36=33是没有根据的。如何解决困惑呢？我国古代杰出的数学家刘徽给出了区分的方法。他用正算赤、负算黑来表示。所以我们也可以借用前人的方法，用红黑颜色的数来加以区别。

我们不妨以较大的数减去较小的数的结果来表示运算结果，只是为了区分，我们用黑色来表示，即把这个结果用黑色的数来表示区别。因此，4-4.5=0.5。

师：那么，以下的式子结果等于什么？0-2=？，0-4=？.0-6=？

生：我是模仿了上面的方法，得2，4，6。

师：我们知道，加法和减法互为逆运算，那么下面运算结果是多少？2+2=？，4+4=？，5+5=？

生：很快得出结果：0。

师：那么，以下式子结果等于什么呢？0-2=？，0-4=7.0-5=？

生：我的答案是：2，4，5。

师：完全正确。我们把这里的这种特殊的黑数称为负数。而我们原来的数除了0以外的数，称为正数。负数的表示是在相应的正数前面加符号“-”，例如上面的2，4，6，我们可以表示为：-2，-4，-6。

（设计意图：这种引入是建立在学生的认知基础之上的，更能引起学生的兴趣，对学生来说，问题解决思路受阻时穿插历史介绍，能消除负数的神秘感，从而保护学生学习的积极性。）

3.课后引入

老师可以将有关负数的发展历史史料提供给学生，让学生对负数有更深的了解。

（设计意图：将有关负数的发展历史作为史料提供给学生，进一步破除他们对负数的困惑和恐惧感。）

4.教学反思

（1）数学文化体现了数学家的行为观念，数学参与是数学文化渗透的重要途径。本节教学中引导学生借鉴历史方法，重现历史上数学大师丢番图、斐波拉契遇到不够减的困惑，我国数学家刘徽用正算赤、负算黑来表示引入负数，减法运算毫不例外地可以进行了。让学生追随古今中外数学家们的足迹寻找智慧闪光点引出负数，感悟与数学家们一起发现问题的认知过程，困于问题的思维过程，解决问题的创造过程，仿佛数学家就在自己旁边，让学生感受到数学家们并不神秘和自己一样也曾遭遇解不了的问题，唤醒学生数学学习的自觉;数学家们顽强的探索精神，激发学生对数学学习产生更多的认同，当学生学会运用数学的思想方法解决实际问题时，他们就已经触摸到数学文化的脉搏了。

（2）在数学解题教学中发展核心素养。多数学生对于数的抽象表达难以理解，对于“数不够用了”出现一定的思维障碍。负数这部分知识在教学中又是一大难点，若教师只是简单使用传统的教学方法很难激发学生学习兴趣。本设计通过设置认知冲突问题引导学生在经验基础上构建以学生为主体的探究方式，培养其数学模型思想，适时融入历史上数学家被“无法用来度量数的多少”这种情形所困扰，培养其逻辑推理素养，引入我国古代数学家刘徽给出方法探究负数，增强数感，培养数据处理能力，学生对于跟自己国家有关系的研究方法兴趣倍增，学生学会“用数学的眼睛看”，形成数学抽象素养。

（二）HPM融入无理数的教学设计——讲解数学数学家轶事与生平

1.轶事引入

观看视频：让学生观看《科学世界》中的视频，通过视频中人类如何寻找地球外的生命，以及发射“勾股定理图”来作为与外星文化取得联系的信号，来提出本节课需要探究的问题：为什么勾股定理图可以作为与“外星人”联系的信号？

（本环节设计意图：巧妙地引入视频，激发学生对勾股定理的兴趣，以及思考勾股定理有何魅力，可作为外星文明沟通的桥梁。）

插入故事：师：同学们，现在老师给大家介绍一下毕达哥拉斯的故事。（插入前面的“无理数的故事”）

（本环节设计意图：巧妙地借助无理数的故事，将学生带入无理数的世界。通过数学史的再现，让学生感受到数学知识发生的精彩动人历程，以及体会数学家为数学真知而奋斗甚至献身的宝贵精神。）

2.动手实践

师：请学生拿出课前准备好的纸张和剪子，动手剪一剪，拼一拼，设法获得一个经典的毕达哥拉斯的勾股图（如图2所示）。思考这样一个问题：在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2。若a=1，b=2，则c2=12+22，即c2=5，则c是有理数吗？

师：有理数包括什么？

生：整数和分数。

师：c2=5是整数？是分数？

生：22=4，32=9，所以c应该是在2和3之间，故c不是整数。

生：分数不可能，两个相同的分数相乘都为分数，所以c不可能是分数。

师：回答得很好。我们把上述c2=5中，c既不是整数，又不是分数的数称之为无理数。

（本环节设计意图：培养学生动手实践能力的同时，促进其对毕达哥拉斯学派成就的深入了解，从而给学生普及更多的有人文味的数学。）

3.课后引入

选做题：以小组为单位，让学生去查阅以及收集无理数相关的数学史料，作为数学知识分享会或者班级数学角的宣传资料。

（设计意图：让学生在查阅无理数的数学史料的过程中，对数学的发展产生熟悉印象和获得相应的认知，扩大他们在此方面的了解、增加他们的知识面，让初中阶段的学生了解到数学学科中的每一个知识都不是简单地产生的，从而不断激发初中阶段的学生对数学未来领域的好奇心。）

4.教学反思

（1）数学文化体现数学家的价值观念，数学家故事是数学文化渗透的重要载体。M·克莱因曾指出，历史上数学家所遇到的困难正是课堂上学生所遇到的学习障碍。把握时机，有情感地讲述“无理数”的悲壮故事，将静态的数学文化转化为动态的教学形态的数学文化传播过程，无形中使数学与学生的心灵距离拉近了，使学生在自己的大脑中建立起数学知识发生、发展的过程，闪光的思想、历史的脉搏深刻地影响学生，不仅使学生收获知识，更收获了隐藏在数学知识发现过程中的思想、方法，浓郁的数学文化熏陶提升理性精神，数学故事性与科学性之间的桥梁架设起来，让学生形成一种基本的科学和数学文化观念，数学文化的价值在溯源中得到有效揭示。

（2）在数学知识教学中发展核心素养。数学教学中所涉及的真实历史不应当只是简单再现或灌输式的说教介绍。教师应有意识地对历史进行适当重建或改造，引导学生通过自己的实践还原历史，培养数学建模素养，知道知识发生的前因后果，增强推理能力，认识到一些著名数学家在发现的伟大成就时所经历的曲折过程。学生的好奇心由潜意识的状态变为自觉追问的创新意识，达到培养直观想象素养的目的，从自主探究过程中体验到解决数学问题的成就感，学生学会“用数学的思维想”，形成逻辑推理素养，思维与表达的教学目标在师生交流与反思中得到呈现。

（三）HPM融入复数教学设计——将数学家的解题方法直接呈现

1.问题引入

师：意大利数学家卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501—1576年）曾经困惑于这样一个问题：a+b=10，ab=40求a，b？同学们是否可以帮其求解？

师：两位同学的回答都很棒，但都不是正确答案。那么此方程的答案究竟是怎样呢？老师先保持一下它的神秘感。2t+4=0，∵△=b2-4ac=22-4×1×4=-12<0，所以此方程无解。

师：回答得非常不错，值得表扬。但是很遗憾，没有回答正确。此方程真的无解吗？

（设计意图：通过再引入莱布尼茨对x2+y2=2（x，y>0）的解题困惑，再次激起学生认知冲突。同时让学生感受到虚数和实数之间存在某种联系，为学生学习创造动机。）

2.数学史引入

师：我们来看看虚数引入的历史（插入前面的“虚数故事”）。

（设计意图：让学生了解虚数符号的来源，开阔其眼界，避免机械记忆，从而使其形象记忆获得发展。）

3.课后引入

选做题：以四人一组的形式，让学生去查阅复数相关的发展史料，下节课围绕学生收集的内容进一步展开讨论以及延伸，最后可收集优秀学生的资料，指导其发表相关数学史论文。

（设计意图：高中阶段的学生已经具备团结、协助能力，让他们讨论、整理以及发表数学史小论文，不仅可以完善其对数系认识的整体框架，还可以填补其数学文化历程。这一做法有效地激发了学生对于数学文化的探究的热情以及为数学发展奋斗终生的志向。）

4.教学反思

（1）数学文化体现数学家的思想方法，内化思想是数学文化渗透的重要体现。讲故事查史料，小小虚数“i”及创造复数概念的引入在数学史上是一个漫长又富有挑战的过程，数系的扩充可以看作是一个简单的人类数学发展史。本节教学思路是通过抽象创造复数概念来渗透数学文化，主要的数学思想方法是类比。从自然数（N）→整数（Z）→有理数（Q）→实数（R）的扩充过程，教师从数学知识自身发展需要和解决实际问题需要出发，引导学生提炼归纳数系扩充的原则、方法，以此为本节知识的生长点，讲述“虚数故事”，体会虚数引进的历史必然性，让学生借助类比运算，建立复数和复数集（C）概念，深刻感受类比方法在形成数学新概念和研究数学新问题中的重要作用。学生在数学学习与思考中不知不觉地受到数学文化的浸润。复数的概念学生在多年之后也许会逐渐忘记，但这种数学思想方法的浸润与思维方式形成的习惯会深深刻在学生的头脑中，随时随地发生作用，彰显数学文化的力量。

（2）在问题解决教学中发展核心素养。创设情景将前面两位著名数学家所遇到的困惑摆到学生面前，让学生以问题驱动追寻知识本源，培养逻辑推理素养。通过问题比较发生“思维碰撞”，以“方程的解是否存在？”这个问题培养学生的数学运算素养，持续追问，借机引导学生追溯历史深度阅读史实，培养直观想象素养;以合作探究的方式经历发现新知的过程，在借鉴历史、感悟本源中了解数系扩充的原则和方法，理解虚数单位、复数等概念，回味冥思苦索后的豁然开朗，进而培养数学抽象素养。从特殊到一般、化归与转化的数学思想，知识与技能目标在数学史融入的土地中落地生根。学生学会“用数学的语言说”，培养数学建模素养。

四、结语

立足HPM，以前人发展历程来契合学生学习认知的过程，通过历史相似性，来增强学生数学文化的提升以及数学观的建立。数系的发展史蕴含丰富的文化元素、厚重的文化积淀，充分挖掘其价值，有利于学生去触摸数学知识丰赡的思想、文化和精神意蕴，形成丰硕、曼妙的学研旅程，最终方能照亮学生的数学学习成长道路，发展学生的数学核心素养。HPM视角下的数学教学研究为教学设计提供了一个新的方向，以数系教学为例，就某一板块具体内容思考怎样融入数学史的方法，特别是结合数学课程“数学核心素养目标”理解数学史向数学教学渗透的意义，有利于重塑数学课程思政，为数学其他模块体系化融入数學文化做探索。由于课堂时间有限，精选数学史料、突出思想方法、贴近教材学生、把握时机方式、方法多元多样、贯通巧妙融入，都需要教师自身数学史及数学文化观念的积累。教师的史学形态、教育形态、教学形态的转化与落实都要在课堂教学中检验，学生的学习效能应当持续关注。

[责任编辑：林志恒]

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