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翻转课堂下向量组线性相关性的微课教学应用

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[摘要]随着高校教学理念的不断更新，微课和翻转课堂已经广泛应用于高校课程改革中。课题组从微课和翻转课堂的概念入手，以线性代数的某个知识点为例，探讨翻转课堂模式下向量组线性相关性的微课教学模式，为高校线性代数课程的教学改革提供借鉴。

[关键词]翻转课堂;向量组;线性相关性;微课;教学设计

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）06-0103-03

線性代数是高等院校理工类、经管类专业开设的一门重要的数学类基础课，是研究生入学统一考试的必考科目。它的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换和有限维的线性方程。随着科学技术的飞速发展，以及计算机技术的广泛应用，线性代数已经广泛应用于工程技术、经济管理、医学等诸多领域。线性代数的教学内容中概念、定理较多，比较抽象，具有较强的逻辑性，使得学生在学习过程中感觉线性代数较难理解，枯燥，对知识点不容易接受。因此，为了提高学生对线性代数的学习兴趣，提高线性代数的教学效果，教师非常有必要对线性代数的教学模式进行不断的探索和研究。

向量空间是线性代数的重要内容之一，向量空间主要讨论向量组的线性组合、线性相关性、极大无关组和向量组的秩等。向量组的很多概念、定理比较抽象，学生学习起来比较困难，为了帮助学生更好地学习抽象概念，我们不是从简单的定义出发，而是从有趣的引例出发，利用所学知识，引导学生一步步解决问题，在解决问题的过程中理解抽象概念。

一、微课与翻转课堂概述

微课是最近这几年来兴起的一种新的以网络技术为媒介的新型教学模式，它给学生进行自主学习提供了条件，也为高校大学数学开展翻转课堂、慕课等新型教学模式改革提供了保障。微课是以教学视频为主要呈现方式，支持网络在线学习、移动学习，教师在课堂教学中针对某个知识点或短小的教学活动进行教学反思、课堂小测验、学生反馈以及教师点评，播放课堂小视频，微课视频的学习时间一般是八到十五分钟。

翻转课堂的概念首次是由美国科罗拉多州的林地公园高中的两位化学老师提出来的，他们使用软件录制了上课的教学PPT和同步讲解教学内容的视频，上传到网络给缺课的学生自我学习，这样的教学模式很快风靡北美各学校。翻转课堂改变了传统的教学模式，不再是“上课教师讲解为主，课后学生自我学习和消化”，而是转变为“课前学生先自我学习;课中学生提出疑问，教师讲解答疑;课后学生巩固学习”。这种新的教学模式体现了以学生为主体，教师为辅，更能提高学生的自我学习能力和学习效率。

微课为翻转课堂提供保障，使得翻转课堂能够更好地开展，因此拥有优秀的微课资源才能使学生顺利完成自主学习任务，才能够保证课中顺利进行知识内化和拓展。微课资源的优劣直接影响翻转课堂的教学效果，两者的关系是密不可分的。

二、翻转课堂模式下向量组线性相关性的微课教学模式

很多高校的线性代数教学都是大班教学，那么，大班教学能否很好进行翻转课堂教学，以及翻转课堂教学能否提高线性代数的教学效果成为重要问题。所以，教师可以选择比较抽象，学生难以理解的知识点进行微课视频制作，并尝试进行翻转课堂的教学模式改革，通过学生课前学习微课视频的情况反馈调整翻转课堂的教学内容。下面以向量组的线性相关性为例，做好概念的教学设计以及录制概念的优质微课视频。

（一）做好概念的教学设计

向量组的线性相关性概念比较抽象，学生不易理解，学好这个概念就必须要理解其定义，所以教师必须做好这个概念的教学设计工作。

定义1：由维数相同的一些向量所构成的集合，成为向量组，当向量的个数为[n]时，记为向量组[A：α1，α2，...，αn]。

介绍向量组的线性相关性时，一定要给学生讲解矩阵与向量组的对应关系。有限个相同维数的行（列）向量构成的向量组与矩阵按行（列）进行分块，是一一对应的。在此基础上，再次介绍齐次线性方程组[Ax=0]的重要表达式：

同时，为向量组线性相关性的教学埋下伏笔。

定义2：给定向量组[α1，α2，…，αn]，如果存在一组常数[k1，k2，…，kn]，使得[k1α1+k2α2+…+knαn=0]（2），则称向量组[α1，α2，…，αn]是线性相关的，否则称它是线性无关的。

由定义2可知，向量组线性相关意味着齐次线性方程组[Ax=0]有非零解，故（1）式有无穷多种表现形式。向量组线性无关意味着齐次线性方程组[Ax=0]只有零解，从而（1）式的表现形式唯一。

定义1和定义2的概念讲解对向量组的线性相关性的教学非常重要，因此，在教学中一定要讲解这些概念之间的联系。

（二）微课视频举例

考虑到向量组的线性相关性的概念的抽象性，制作出优质的微课视频，吸引学生课前自主学习的兴趣，从而更好进行翻转课堂教学改革变得尤为重要。下面给出制作该知识的微课视频举例。

引例：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种中成药，各用量成分见下表：

某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品？

1.教学背景：向量组的线性相关性在自然科学、工程技术、经济学、医学等各领域都有广泛的应用，它与行列式、矩阵、线性方程组的求解以及社会生活实践等有着密不可分的联系。向量组的线性相关性是线性代数理论的重要组成部分，它贯穿线性代数课程的始终，线性代数中的许多重要概念都离不开它。为此，我们要在微课视频教学中力求将这些抽象枯燥的概念通过引例、实例，深入浅出、生动形象地表达出来，有意识地引导学生去发现这些概念之间的联系和区别，有利于对概念的理解、掌握以及应用。

2.教学内容：线性相关、线性无关的概念;利用线性相关、线性无关的定义判断向量组的线性相关性。

3.教学重点：线性相关、线性无关的概念。

4.教学难点：利用向量组的线性相关、线性无关的定义来判断向量组的线性相关性。

5.教学理念：采用问题驱动和体验式学习方式，以情境和问题为驱动，围绕学生主体，教学过程由浅入深，通俗易懂地讲解抽象的教学内容。从学生的生活实例和已有的知识背景出发，让他们在工作生活中去发现数学，探究数学，认识并掌握数学现象与规律。数学课程着力于培養学生发现、分析、解决问题的能力，激发学生学习兴趣，提高学生学习的自觉性、主动性。

6.教学方式：根据大卫·库伯的体验式学习理论，采用“问题情境—观察反思—形成抽象概念—实验拓展”的结构设计。

（1）问题情境：尝试分析问题，创设情境。

（2）观察反思：通过对引例中抛出的简单问题1：3号成药能否用其他特效药配制出来？引导学生观察、分析、思考;从学生已有的知识背景出发，让他们在分析问题中去发现数学，探究数学，认识并掌握数学现象与规律。

（3）形成抽象概念：在学生原有的向量组的线性表示、线性组合的知识基础上，由浅到深，由形象到抽象，利用简单引例分析，帮助学生形成抽象概念，定义向量组的线性相关、线性无关的概念，给出用定义判断向量组的线性相关性，及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力，最终还能学以致用。

（4）实验拓展：在学以致用环节，通过引例的问题26号成药能否用其他特效药配制出来？引导学生熟练掌握利用向量组的线性相关、线性无关的定义去判断向量组的线性相关性;解题中利用Matlab数学软件，提高学生的计算机应用能力。最后用课后思考的方式检验学生学习效果，适当对题目进行引申，使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。

7.教学过程：

（1）创设情境，引入课题。

问题引入：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药，某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品？尝试分析问题，创设情境。

（2）归纳探索，形成概念。

问题分析：先从简单问题分析，针对引例中的问题，通过观察分析发现，3号成药的成分等于1号成药的成分加上2倍2号成药的成分，说明3号成药可以配制。同时也说明1、2、3号成药之间是相关的。引导学生思考：6号成药可否配制？3号、6号成药的配制问题可否同时考虑？同时，引出新知：向量组线性相关、线性无关的概念。

新知讲解：向量组线性相关、线性无关的概念。

例题讲解：选择典型而具有代表性的2个例题，2个例题中第1个是判别已知具体维数的向量组的线性相关性，第2个是证明抽象的向量组的线性相关性。

新知归纳性质：从向量组线性相关、线性无关的概念得出相关的简单性质。简单性质推导，使学生更加深刻理解向量组线性相关、线性无关的概念。

（3）掌握求法，适当延展。

学以致用：针对引例中6号成药可否配制，3号、6号成药的配制问题可否同时考虑这两个问题的解决就是向量组的线性相关性在实际问题中的应用。解题时可利用Matlab数学软件提高学生的计算机应用能力。

（4）归纳小结，提高认识。

小结：结合所讲例题学以致用并进行小结，使学生加深对用线性相关、线性无关的概念的理解，以及用定义来解题的方法和规律，有利于学生对知识的串联、累积、加工。

课后思考：（1）7种成药中，若缺的是5号和7号成药能否用其他成药配制出来呢？（2）7种成药中，哪几种是不相关的，相互之间无法配制的？第1个问题是检验学生对新学知识的应用，第2个问题是为下一个内容——极大无关组做铺垫，起到承前启后的作用。通过课后思考题检验学生学习效果，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而达到举一反三的效果，有利于发展学生的思维能力。

三、结束语

微课教学是一种新型的教学方法，翻转课堂模式下的线性代数微课教学是高校大学教学中一项长期的教学改革重点工作。优质的微课视频资源为个性化学习、自主学习和移动学习提供保障，使教师能够开展翻转课堂教学。翻转课堂实施需要很多优质的微课视频资源，这就要求我们教师要花大量的时间和精力来做好线性代数中每个知识点的教学设计，录制出每个知识点的优质视频，这对教师而言，也是一种艰巨的考验。微课和翻转课堂的出现，改变了传统的教学模式，使学生课前先通过微课视频自主学习，课中与教师互动探讨疑惑，使得教师的教学方式和学生的学习方式发生了前所未有的变革。基于翻转课堂模式下的线性代数微课教学是一次全新的尝试和变革，这种新的教学模式在一定程度上提高了学生的学习效率，激发了学生的学习兴趣。

[ 参考文献 ]

[1] 黄秋和，莫京兰，宁桂英. 线性代数[M].武汉：武汉大学出版社，2016.

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[4] 王鑫.基于微课的翻转课堂在线性代数教学中的应用[J].高教学刊，2016（12）：118-119.

[5] 孙晓青，唐平.翻转课堂模式在线性代数教学中的应用[J].教育教学论坛，2017（12）：189-190.

[责任编辑：钟岚]

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