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动态几何中的矩形折叠问题

范文

王兴凯

摘要：矩形的折叠是矩形变换的一种方式，能够体现矩形由静态向动态变化的过程，便于学生通过实践操作来进行观察和验证.让学生于亲身体验中建立几何直观，发展空间观念和想象力，从空间变换层面来发展学生的运用意识和创新精神.着重考查学生的应变能力和数学素养，是中考中的一抹亮丽的霞光.

关键词：矩形折叠;全等变换;实践操作;数形结合;转化对应

初中数学中的图形变换是几何直观与空间观念的重要组成部分，其中图形的折叠是图形变换的方式之一，能够体现图形由静态向动态变化的过程，同时也增加了背景的复杂度和问题的新颖度.相对于图形的平移与旋转而言，图形折叠便于学生的动手实践，易于学生通过实际操作来进行观察和验证，是一种很好的训练学生学会从“变化中找不变”的体验模式.正因为折叠的易操作性和趣味性，使之受到学生的喜爱和出题者的青睐.

图形折叠问题实质上就是图形的轴对称问题，折痕所在的直线就是对称轴.其性质是成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称、对应点的连线被对称轴垂直平分、对应边相等、对应角相等.通过图形折叠可让学生从图形的变换中体会“变中不变”的思想、数形结合思想、转化与对应思想等，让学生于亲身体验中建立几何直观，发展空间观念和想象力，从空间变换层面来发展学生的运用意识和创新精神.本文以矩形折叠为例来加以阐释.

1 利用矩形折叠求线段的比值、角度、寻找点的位置

例1 （2018年泰州市）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图1），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图2）.

（1）根据以上操作和发现，求CD/AD的值;

（2）将该矩形纸片展开.

①如图3，折叠该矩形纸片，使点C与点日重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开，求证：∠HPC =90°：

②不借助工具，利用图4探索一种新的折叠方法，找出与图3中位置相同的点P，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法.（不需说明理由）

简析（1）如图5，连接EH，DF，由第二次折叠得DH= EH，EF=DF，∠EHF=∠DHF，∠ECF=1/2∠DCE.

由第一次折叠得∠DCE=∠CEF =45°，AD∥EC.

所以∠ EFH= ∠DHF，∠ECF= 22.5°.所以∠EFH= ∠EHF.

易证碍EF= EH= DH= DF.

所以四边形EFDH是菱形.

因为∠EFH=∠ECF+ ∠CEF =67.5°

所以∠EHF= ∠EFH=67.5°。

点评本题入口宽、层级递进、思维步步进阶，为不同层次的考生发挥出自己的最佳水平提供了可能.以图形折叠为背景，综合考查了菱形、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形等知识.解题时注意折叠问题实质上就是轴对称变换问题，利用对应边相等，对应角相等是解决此类问题的关键，考生可动手操作或在脑海中作无纸化模拟折叠来寻找对应边或对应角.解题（1）的关键是得出∠EHF= ∠EFH =67.5°，进而判断四边形EFDH是菱形，再证得△AEH是等腰直角三角形，从而使问题得以化解;解题（2）①的关键是由折叠得PH= PC并利用CD/AD=√2，通过设适当的未知数，表示出相关线段的长度，根据勾股定理分别表示出PH2与PC2的长度，利用PH2=PC2构造方程来化解问题

2 利用矩形折叠求线段长度、角度、证明点的位置关系

例2（2018年镇江市）（1）如图7，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C'處，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为____。.

（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD.AB =4，AD =9.

【画一画】如图8，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）;

【算一算】如图9，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A'，B'处，若AG=7/3，求B'D的长;

【验一验】如图10.点K在这张矩形纸片的边AD上，DK =3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A'，B'处，小明认为B'I，所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由，

点评本题层次分明、低起高落、思维层级递增，使不同层级的考生在数学上能有不同的收获.解题（2）【画一画】的关键是运用折痕是对称点连线的垂直平分线，从而作出图形;解题（2）【验一验】的关键是利用矩形和折叠的性质证得三角形相似，得出比例式，建立方程求得相关线段的长，尤其是根据tan ∠B'IC与tan ∠DIC是否相等来化解问题，将学生思维拉升至峰顶，成为考查思维与学科素养的制高点.

3 利用矩形折叠进行开放性探究与设计

例3（2018年德州市）再读教材：宽与长的比是√5-1/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.（提示：MN =2）

第一步，在矩形纸片一端，利用图13的方法折出一个正方形，然后把纸片展平;

第二步，如图14，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平;

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图15中所示的AD处;

第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图16中就会出现黄金矩形.

问题解决（1）图15中AB=____（保留根号）;

（2）如图15，判断四边形BADQ的形状，并说明理由;

（3）请写出图16中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由，

实际操作（4）结合图16，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽.

简析（1）由折叠得AF =2，BF =1.

所以AB=√AF2+BF2=√5.

（2）四边形BADQ是菱形.理由如下：

由折叠知四边形ACBF是矩形.

所以BQ//AD，得∠BQA= ∠DAQ.

由折叠得∠BAQ= ∠DAQ，AB =AD.

所以∠BQA=∠BAQ，得BQ =AB.

所以BQ =AD.

又BQ//AD，

所以四边形BADQ是平行四边形.

因为AB =AD，

所以四边形BADQ是菱形.

（3）图16中的黄金矩形有矩形BCDE、矩形MNDE.以黄金矩形BCDE为例，理由如下：

由折叠得AD =AB=√5，AN =AC =1.

所以CD =AD -AC=√5-1.

又BC =2，所以√5-1/2.

故矩形BCDE是黄金矩形.

（4）①如图17，在矩形BCDE上添加线段GH，使四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形，长GH=√5-1，宽HE =3一√5.

②如图，在矩形BCDE上添加线段PI，使四边形BPIE为正方形，此时四边形CDIP为所要作的黄金矩形，长CD=√5-1，宽ID=3一√5.

点评本题宽入口、低起点、拾级而上，让不同层次的考生都可各施其能、各有所得.题目以图形的折叠和教材中的黄金矩形为背景，考查了学生的几何直观和平时的动手能力，尤其是空间观念与想象力.解题的关键是从折叠后的展开图中，找准折叠前后图形的对应点、对应边和对应角，利用矩形性质和折叠的特征来化解问题.

4 矩形折叠转化为平行四边形折叠并进行开放性探究

例4（2018年齐齐哈尔市）折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等.折纸活动也伴随着我们初中数学的学习，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念.在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.

实践操作如图18，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B'落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接B'D.

解决问题（1）在图18中，①B'D和AC的位置关系为____;

②将△AEC剪下后展开，得到的图形是____;

（2）若图18中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图19所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由;

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为____;

拓展应用（4）在图19中，若∠B= 30°，AB =4√3，当△AB'D恰好为直角三角形时，BC的长度为____.

简析（1）易证得：AD =BC=B'C，AE= CE，B'E= DE，△AEC和△DEB'是等腰三角形，四边形ACDB'是等腰梯形，△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等.所以①BD'∥AC，②菱形;

（2）（i）选择②证明如下，如图19.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AD∥BC，得∠DAC=∠ACB.

因为将△ABC沿AC翻折至△AB'C，

所以∠ACB'=∠ACB.

即∠DAC= ∠ACB'，得AE= CE.

所以△AEC是等腰三角形.

所以將△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等.得到的图形是菱形.

（ii）选择①证明如下，如图19.

将△ABC沿AC翻折至△AB'C，得B'G=BC.

由AD= BC，得B'C=AD.

由（i）知AE= CE，得B'E= DE.

所以△AEC和△DEB'是等腰三角形.

因为∠AEC= ∠B'ED，所以∠ADB'=∠DAC.

即B'D∥AC.

（3）分两种情形如下：

①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1;

②如图20，当矩形的长宽之比为√3：1时，满足条件，此时可以证明四边形ACDB'是等腰梯形，是轴对称图形，再证明四边形AFEB'是轴对称图形.

综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为1：1或√3：1.

（4）由（ii）知AD =B'C，AC∥B'D.

可得四边形ACB'D是等腰梯形，

因为∠B= 30°，所以∠AB'C=∠CDA =30°.

以下分四种情形分别讨论求解：

（I）如图21中，当∠B'AD= 90°，AB >BC时，连接DB'，易证得四边形ACB'D是等腰梯形.

所以当BC的长为4或6或8或12时，△AB'D是直角三角形.

点评本题低起高落、层级递增、思维螺旋上升，让不同层次的考生都易于上手，有话可说，有分可得.以图形的折叠为背景，考查了四边形的综合、轴对称变换、矩形的性质、等腰梯形的判定和性质、解直角三角形等知识.解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.解题（3）的关键是依题中的方法两次折叠矩形纸片后所得图形是轴对称图形，结合图18中△AEC是等腰三角形和四边形ACDB'是等腰梯形来化解问题;解题（4）的关键是△AB'D为直角三角形时，如何分类并画出相应的图形，将众多知识融合，通联互补，从而将学生的思维拉伸至高处，成为思维考查的制高点.

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