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利用对称性求解与扇形相关的阴影面积

范文

王文智

摘要：求解与扇形相关的阴影部分的面积，所求部分必然是圆与其它图形相互叠合、切割、旋转等方式形成的形状复杂、且直接不可计算面积的图形.解决这类问题，首先要观察图形形状，找到图形可能具有空间对称、直线对称、点对称等特性，从而把所求阴影部分面积利用逻辑的推理转化为可求形状的面积差、和等形式，从而使问题得以突破.

关键词：对称性;扇形;面积

例1某公园要对某一片正方形绿化地设计一个造型，以在不同的区域种植不同的花草，以提高公园可观赏性.假设正方形的边长等于1，设计人员以正方形的四边为直径作半圆，形成如图1所示图形，请计算阴影部分的面积.

解析观察图形特征，具有对称性.如图2所示，点0为AB的中点，点p为正方形的中心，连接PA、PB、OP，只要求出半圆0的面积与△ABP的面积，根据对称性，阴影部分的面积是两者之差的4倍.

例2 有一直径为2的圆形材料，记作⊙0，圆心为0，如图3所示，用OA与OB去切⊙0，OA的圆心为A，⊙B的圆心为B，并且⊙A与OB外切于⊙0的圆心0，切去⊙O上的两块，剩余材料即图3所示的阴影部分的面积是多大？

解析如图4所示，连接OB、DB、FB，DF.因为OA与OB外切于⊙0的圆心O，且A、B均在⊙0的圆周上，因此，三圆的半径相等均为1.

从图形中观察可知，根据对称性，阴影部分的面积等于⊙O的面积与弓形ODF的面积4倍的差.

因为三圆的半径相等均为1，所以OB= DB= FB=1.所以DF=√3，∠DBF= 120°.

点评观察例1、例2的图形，阴影部分本身在空间内具有对称性.例1中阴影部分四部分空间对称，解决其中一部分就可解决问题;例2图形空白部分在空间内有对称性，是四个相同的弓形，求出一个弓形的面积，问题就得以突破[1].

例3 如图5所示，CD是垂直于00直径AB的一条弦，∠CDB =30°，CD=2√3，则图所示的阴影部分的面积是多大？

解析根据题意，CD⊥AB，如图6所示，CD交AB于点E.

例4 如图7所示，多边形ABCDEF是正六边形，内接于⊙0，⊙0的半径为2cm，请计算图中的阴影部分的面积.

解析如图8所示，连接OB，OC. OB交AC于点W

因为正六边形ABCDEF内接于⊙0，则必有∠COB =60°，且⊙0的半径为2cm.

点评观察例3，能猜想到ACOE与ADBE可能关于点E对称，然后通过逻辑推理找到二者全等，就使复杂的阴影面积转换成了扇形面积;例4需要通过辅助线，才能观察出ACOW与AABW可能关于点W对称，通过逻辑推理找到二者全等，顺利达到轉换的目的[2].

参考文献：

[1]李玉强.二次函数的动态解析式及其图像[J].语数外学习（初中），2016（04）：19 - 20.

[2]高英.如何提高初中数学自学能力[J].陕西教育，2017 （5）：45 -46.

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