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标题 研究旋转变换,聚焦数学思想
范文

    杨峻峰

    

    

    

    [摘 ?要] 旋转变换问题是新课标的重要内容之一,在中考中占据着较大的板块,同时也是教学的重难点. 文章从典型例题的剖析来研究旋转变换,拓展数学思维,聚焦数学思想,提高解决问题的有效性.

    [关键词] 旋转变换;解题思路;数学思想;数学思维

    中考是对初中生学业水平的终端评价,是对学生数学学习所达水平的一种考查. 旋转问题属于数学探究的范畴,在中考中较为常见,大多以探究题和开放题的形式出现,对学生数学基本功以及观察能力、综合分析等能力都提出了较高的要求. 既然图形旋转问题如此重要,就需要广大数学教师在平时的教学中逐步渗透旋转思想,引导学生走入思维发展区,并引领学生进行类比和归纳,提高分析和解决问题的能力,同时对学生关键能力的发展和拓展数学思维有着不可估量的作用.

    借助常规问题,理解解题思路,理解旋转思想

    在数学解题的道路上,解题思路永远是解决数学问题的突破口,成功找寻到问题的切入口是成功解题的关键一环. 借助对图形的直观分析和思考,并通过数学的眼光进行抽象,指向数学学科的关键能力. 在平时的教学中,通过针对性训练不断渗透旋转思想,让学生理解图形旋转的基本性质,利用旋转前后图形全等的性质,得出解决问题的有效策略.

    例1 ?如图1,已知正方形ABCD内有一点P,若将△ABP绕点B沿着顺时针方向进行旋轉后可以与△CBQ完全重合,且有BP=3,试求出PQ的长.

    分析 ?借助图形旋转的性质,可得△ABP≌△CBQ,BP=BQ=3,∠PBQ=∠ABC=90°,则在Rt△PBQ中,利用勾股定理可得PQ=3 .

    效能分析 ?本题是一道关于图形变换的平面几何试题,难度一般. 该题对旋转性质的运用有较好的启迪和导向作用,可以提高学生应用旋转性质的灵活性,并体会其在解决问题中的重要意义.

    例2 ?如图2,已知等边三角形ABC内有一点O,∠AOB=110°,∠BOC=α,现将△BOC绕点C沿着顺时针方向旋转60°得到△ADC,连结OD.

    (1)试证明△COD为等边三角形;

    (2)若α=150°,试判断△AOD的形状,并阐明原因;

    (3)若△AOD为等腰三角形时,试探究α的度数.

    分析 ?(1)因为△ADC由△BOC旋转而得,所以有△BOC≌△ADC,则有CO=CD,∠BCO=∠ACD. 又因为∠BCA=60°,所以∠OCD=60°,所以△COD为等边三角形.

    (2)因为α=150°,所以∠ADC=∠BOC=150°. 又因为△COD为等边三角形,所以∠CDO=60°,∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,所以△AOD为直角三角形.

    (3)因为在△AOD中,有∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°,∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°,当AO=AD时,则有∠AOD=∠ADO,所以190°-α=α-60°,所以α=125°;当AO=OD时,则有∠OAD=∠ADO,所以50°=α-60°,所以α=110°;当DO=AD时,则有∠AOD=∠OAD,所以50°=190°-α,所以α=140°.

    效能分析 ?本题是对旋转性质的进一步运用和升华,旨在培养学生的探究能力和综合运用能力,并渗透了多个数学思想,如分类讨论思想等. 学生通过分析和解决本题,对旋转性质认识达到质的飞跃,在快速解决问题的同时感受图形的魅力和几何结论的美妙,进一步完善对旋转思想的理解.

    借助问题探究,拓展思维,实现解题关键

    在解决图形旋转这一类问题的过程中,利用好旋转变换,可以解决普通方法难以解决的很多问题,是实现正确解题的关键一环,通过灵活运用旋转变换的性质,积累解题经验,从空间变换层面可以拓展学生的思维,不断发展学生的想象能力和应用意识.

    例3 ?如图3,已知等边三角形ABC内有一点P,PB=2,PC=1,∠BPC=150°,试求出PA的长.

    分析 ?若将△PAB绕点B沿着顺时针旋转60°,即可得到△DCB. 因为△PAB≌△DCB,所以PB=BD,PA=CD,∠PBD=∠ABC=60°,所以△BDP为等边三角形,则有PD=PB=2,∠BPD=60°. 又因为∠BPC=150°,所以∠DPC=90°. 在直角三角形DPC中,PD=2,PC=1,再借助勾股定理,可得CD=5?摇,所以PA=5?摇.

    效能分析 ?本题乍一看与图形旋转并无关联,题目看似无从下手,而通过建构其与旋转变换的桥梁,问题即可迎刃而解.

    借助归纳类比,提炼数学思想,体现思维策略

    在解决复杂的几何问题时,通过归纳类比而提炼的旋转思想去构造全等三角形,牢牢把握图形在选择过程中的不变量,同时切实把握几何图形的运动过程,找寻到解决问题的突破口,尽显思维能力,体现思维策略.

    例4 ?已知正方形ABCD中,BD为它的一条对角线,点P从点A出发,并沿着射线AB运动,连结PD,过点D作DE⊥PD并与直线BC交于点E,且直线PE与直线BD,CD分别交于点M,N,PM=3,EN=4,试求出PD的长.

    分析 ?如图4,当点P在AB上时,在AD上取一点G,使得DG=DN,连结PG. 由∠ADC=∠PDE=90°,可得∠GDP=∠NDE,借助全等三角形“SAS”判定定理,可得△GDP≌△NDE,所以PG=NE=4,∠GPD=∠NED. 同理,借助全等三角形“SAS”判定定理,可得△ADP≌△CDE,所以∠APD=∠CED,所以∠APG=∠CEN. 因为∠CEN+∠BPE=90°,∠GPM=90°,所以在Rt△PGM中,借助勾股定理可得GM=5. 因为BD为正方形ABCD的一条对角线,借助全等三角形“SAS”判定定理,可得△GDM≌△NDM,所以GM=MN=5,所以PE=PM+MN+NE=3+5+4=12. 又因为△PDE为等腰直角三角形,借助勾股定理可得PD=6 ?摇.

    如图5,当点P在AB的延长线上时,在DA的延长线上取一点G,使得DG=DN,连结PG,GM. 由∠ADC=∠PDE=90°,可得∠GDP=∠NDE,借助全等三角形“SAS”判定定理,可得△GDP≌△NDE,所以PG=NE=4,∠GPD=∠NED. 同理,借助全等三角形“SAS”判定定理,可得△ADP≌△CDE,所以∠APD=∠CED,所以∠APG=∠CEN. 因为∠CEN+∠BPE=90°,∠GPE=90°,所以在Rt△PGM中,借助勾股定理可得GM=5. 因为BD为正方形ABCD的一条对角线,借助全等三角形“SAS”判定定理,可得△GDM≌△NDM,所以GM=MN=5,所以PN=MN-PM=5-3=2,PE=PN+EN=2+4=6. 又因为△PDE为等腰直角三角形,借助勾股定理可得PD=3 .

    效能分析 ?本题难度较大,具有良好的导向和启迪作用,是探究的良好素材,值得细细品味与思考. 旋转思想缺失的学生拿到本题都会思维受阻,进而选择放弃. 基本功扎实的学生通过简单图形解决策略的积淀,找寻到平常练习的模型,成功迈出正确解题的第一步,找寻到解决复杂图形问题的一般策略,解题思路神秘面纱瞬间揭开,通过散发数学味的探究和发掘创造性地解决问题.

    总之,旋转问题作为中考热点问题,教师需通过上述方法为学生创设一个图形变化的数学环境,引领学生亲历思考、探究、猜测、推导、类比、归纳等一系列实践过程,拓展学生的思维空间,培养学生的探究能力,最终达到培养数学核心素养的目的.

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更新时间:2024/12/23 6:12:21