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标题 归一法在计数原理中的运用
范文

    徐涛

    

    计数原理这一章的某些问题,诸如:分组问题和环排问题和恒等证明问题,不少同学感到甚是棘手,其实教材已给出了解决之道:归一法.

    研究组合数Cm?n的公式,教材的处理如下:

    考查模型(Ⅰ):从n个不同的元素中任取m个元素可组成多少个排列?

    法一:由排列知识可知:从n个不同的元素中任取m个元素可组成Am?n个排列;

    法二:第一步:从n个不同的元素中取出m个元素,共有Cm?n种取法,第二步:将取出的m个元素做全排列,共有Am?m种排法,由分步乘法计数原理得:从n个不同的元素中任取m个元素可组成Cm?n·Am?m个排列.

    因法一、法二都解决了模型(Ⅰ),故有:Am?n=Cm?n·Am?m,解得:Cm?n=Am?nAm?m.

    一、分组问题

    例1有9本不同的书,将其分成如下3组,各有多少种分法?

    (1)每组3本;

    (2)一组5本,另两组各2本;

    (3)一组2本,一组3本,一组4本.

    解:(1)考查模型(Ⅱ):将9本书平分给甲、乙、丙三人,共有多少种分法?

    法一:第一步:甲分3本书,有C3?9种分法,第二步:乙分3本书,有C3?6种分法,第三步:丙分3本书,有C3?3种分法.由分步乘法计数原理得:甲、乙、丙各得3本,共有C3?9·C3?6·C3?3种分法.

    法二:第一步:将9本书分成3组,每组3本,设有x?1种分法;第二步:将这3组分给甲、乙、丙3人共有A3?3种分法.由分步乘法计数原理得:甲、乙、丙各得3本,共有x?1·A3?3种分法.因法一、法二都解决了模型(Ⅱ),故有:C3?9·C3?6·C3?3=x?1·A3?3,解得:x?1=C3?9C3?6C3?3A3?3.

    (2)考查模型(Ⅲ):将9本书分给甲、乙、丙三人,甲得5本,乙、丙各得2本,共有多少种分法?

    法一:第一步:甲分5本书,有C5?9种分法;第二步:乙分2本书,有C2?4种分法;第三步:丙分2本书,有C2?2种分法.由分步乘法计数原理得:甲得5本,乙、丙各得2本,共有C5?9·C2?4·C2?2种分法.

    法二:第一步:将9本书分成3组,一组5本,另两组各2本,设有x?2种分法;第二步:将这3组分给甲、乙、丙3人共有A2?2种分法.由分步乘法计数原理得:甲得5本,乙、丙各得2本,共有x?2·A2?2种分法.因法一、法二都解决了模型(Ⅲ),故有:C5?9·C2?4·C2?2=x?2·A2?2,解得:x?2=C5?9·C2?4·C2?2A2?2.

    (3)考查模型(Ⅳ):将9本书分给甲、乙、丙三人,甲得2本,乙得3本、丙得4本,共有多少种分法?

    法一:第一步:甲分2本书,有C2?9种分法;第二步:乙分3本书,有C3?7种分法;第三步:丙分4本书,有C4?4种分法.由分步乘法计数原理得:甲得2本,乙得3本、丙得4本,共有C2?9·C3?7·C4?4种分法.

    法二:第一步:将9本书分成3组,一组2本,一组3本,一组4本,设有x?3种分法,第二步:将这三组分给甲、乙、丙三人共有1种分法,由分步乘法计数原理得:甲得2本,乙得3本、丙得4本,共有x?3·1种分法.

    因法一、法二都解决了模型(Ⅳ),故有:C2?9·C3?7·C4?4=x?3·1,解得:x?3=C2?9·C3?7·C4?4.

    评析:解决分组问题,可构建一个组合模型,用归一法解決.

    二、恒等证明

    例2证明:(C0?n)2+(C1?n)2+(C2?n)2+…+(Cn?n)2=Cn?2n.

    证明:考查模型(Ⅵ):某校高一年级1班和2班各有n个同学,从这两个班选出n个同学去养老院为老人打扫卫生,共有多少种选法?

    法一:第一类:1班选0个同学,2班选n个同学,有C0?n·Cn?n=(C0?n)2种选法,第二类:1班选1个同学,2班选n-1个同学,有C1?n·Cn-1?n=(C1?n)2种选法,第三类:1班选2个同学,2班选n-2个同学,有C2?n·Cn-2?n=(C2?n)2种选法,…,第n+1类:1班选n个同学,2班选0个同学,有Cn?n·C0?n=(Cn?n)2种选法,由分类加法计数原理得:共有(C0?n)2+(C1?n)2+(C2?n)2+…+(Cn?n)2种选法.

    法二:两班共计2n个同学,从这2n个同学选出n个,共有Cn?2n种选法.

    因法一、法二都解决了模型(Ⅵ),故有:(C0?n)2+(C1?n)2+(C2?n)2+…+(Cn?n)2=Cn?2n.

    评析:解决恒等证明问题,可构建一个排列或组合模型,用归一法解决.

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更新时间:2025/3/10 19:30:08