| 标题 | 浅谈线性规划问题最优解 |
| 范文 | 姬成虎 【摘 要】高中数学知识点多，出题比较灵活，能行之有效的解题方法显得尤为重要，一线教师可以总结同类题型的解题方法，为学生高考解题节省时间，在有限的竞争时间内赢得宝贵的时间。 【关键词】可行域；最值 本节知识在高考题目中经常以选择题或填空题出现，虽然难度不大，但解法费时，那么就要求学生在作对的前提下节省时间尤为显得重要，这样可以用更多的时间来思考其他题，在有限的时间内超过别人。 一、z=ax+by型最值 例1.（2015·湖南高考）若变量x，y满足约束条件 x+y≥1 y-x≤1则z=2x-y的最小值。 x≤1 【解析】画出可行域。平移直线2x-y=0过点（0，1）时，z取得最小值。 例2.（2015·广东高考）若变量x，y满足约束条件 x+2y≤2 x+y≥0则z=2x+3y的最大值。 x≤4 【解析】画出可行域。将直线y=-■x向上平移，易知当经过点（4，-1）时截距最大。 思考：线性规划问题不难，但解线性规划问题比较费时，那有没有更简捷的方法呢？ 答：有，我们发现形如z=ax+by的最值问题其最优解就在有界可行域各顶点处，所以，我们以后碰到类似的题，不再费时的去做可行域，只需解出所有顶点坐标代入目标函数。 比如例1，可以很快的求出三个交点的坐标（0，1）、（1，2）、（1，0），很显然，（0，1）代入目标函数就是最优解；例2，求出三个顶点的坐标，点（4，-1）代入目标函数就是最优解。 二、y=■型最值 思考：目标函数形如y=■的线性规划的问题的最优解是不是也在有界可行域顶点处？ 例3.（2016·烟台模拟）在平面直角坐标系xOy中，M 2x-y-2≥0 为不等式组 x+2y-1≥0所表示的区域上一动点，则直线 3x+y-8≤0 OM斜率的最小值。 例4.（2015·全國卷Ⅰ）若x，y满足约束条件 x-1≥0 x-y≤0求■的最大值。 x+y-4≤0 显然，目标函数形如y=■的线性规划的问题的最优解也在有界可行域顶点处。 三、y=（x-a）■+（y-b）■最值型 思考：目标函数形如y=（x-a）■+（y-b）■的线性规划的问题的最优解解是不是也在有界可行域顶点出呢？ x-y≥-1 例5.实数x，y满足 x+y≤3则目标函数y=（x+1）■+y■的最大值为_____。 x≥0 y≥0 我们发现目标函数形如y=（x-a）■+（y-b）■的最大值就在有界可行域交点处取得。 思考：目标函数形如y=（x-a）■+（y-b）■的线性规划的问题的最小值解是不是也在有界可行域顶点处去的呢？ 例6.（2016·贵阳模拟）若变量x，y满足约束条件 x-y+1≤0 y≤1则（x-2）■+y■的最小值。 x≥-1 【解析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x-2）■+y■，则z的几何意义为区域内的点到定点（2，0）的距离的平方，由 y=1 得 x=0即zmin=（x-2）■+y■=4+1=5 x-y+1=0 y=1 x-2y+4≥0 例7（2016·江苏卷）。已知实数x，y满足 2x+y-2≥0 则x■+y■的取值范围。 3x-y-3≤0 【解析】作出不等式组对应的平面区域，x■+y■表示可行域内的点到原点距离的平方。可以看出图中原点距离最近，此时距离为原点到直线2x+y-2=0的距离，d=■=■，则（x■+y■）■=■，图中点（2，3）为x-2y+4=0与3x-y-3=0交点，则B（2，3），则（x■+y■）■=13。 思考：在例6、7中，目标函数最大值解就在有界可行域顶点处取得，例6目标函数最小值解在有界可行域顶点处取得，但例7目标函数最小值解不在有界可行域顶点处取得，有何简介办法区分吗？ 探究例6：三个顶点的坐标分别是A（-1，0）、B（-1，1）、C（0，1），定点D（2，0），直线CD到AD的斜率是[-■，0]，不含有与直线AC垂直直线的斜率-1，同理也找不到恒过定点D与直线BC垂直的直线经过有界可行域，所以，目标函数最小值解在有界可行域顶点处取得。 探究例7：三个顶点的坐标分别是A（0，2）、B（1，0）、C（2，3），定点o（0，0），直线OB到OA的斜率是[0，+∞），包含与直线AB垂直直线的斜率■，所以，目标函数最小值解就是顶点o（0，0）到直线AB的距离。 【参考文献】 [1]薛声家，刘惠.一般形式线性规划最优解集的确定.暨南大学学报（自然科学与医学版），2001.22（1）：12-17 [2]罗佳佳，李炜，刘志涛.区间线性规划问题弱最优解的判别.杭州电子科技大学学报，2013.33（03）：81-84 [3]赵志理，李炜，王虎平.区间线性规划的最优解与强最优解.杭州电子科技大学学报，2013年01 |
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