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浅谈不定积分中“凑微分法”的教学

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黄穗

【摘要】微积分的不定积分法在整个高等数学的应用具有重要作用，其中“凑微分法”（第一类积分法）是三大计算方法之一，核心思想是通过“凑”微分，把关于复合函数的不定积分转化为基本初等函数的不定积分。

【关键词】不定积分;凑微分法;数学分析

微积分中的不定积分法在整个高等数学的教学和应用中具有举足轻重的作用。就整个微积分学而言，不定积分是从导数的角度来定义的，因此，在某种程度上可以看成是微分的逆运算;其后是在定积分、多重积分、线积分、面积分的计算基础。就整个高等数学而言，不定积分的计算也是微分方程、数值分析、勒贝格积分等的基本工具。因此，在关于不定积分法的教学过程中，为了使学生能够理解掌握并熟练应用积分法，教材会有针对性地对不同类型的问题提供不同的积分法，教师也会安排较多课时，通过计算大量的例题、布置较多作业完成教学。

在三大积分法（包括凑微分法、第二类换元法、分部积分法）中，首当其冲的即是“凑微分法”，我们也称之为第一类换元法。相较于其他两种积分法，凑微分法更为灵活多变，处理的问题也更为广泛。在凑微分法的教学过程中，我们首先要确定的是，凑微分法解决的是哪类函数的不定积分问题;其次是“凑什么”、“怎么凑”的问题;最后需要解决凑微分法与其他积分法的综合应用。

现在先回答第一个问题。凑微分法主要解决的是复合函数求不定积分节分的问题。我们通过以下例题进行说明。

凑微分法的使用灵活多变，要求使用者对积分公式表中的积分较为熟悉，可通过观察分析被积函数的结构确定“凑什么”“怎么凑”的问题。此积分法在含三角函数的不定积分计算中尤为重要，需要通过大量练习才能熟悉掌握，从而为更复杂的计算打好基础。

【参考文献】

[1]欧阳光中等.数学分析（上册）第四版[M].高等教育出版社，2018

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上冊）第四版[M].高等教育出版社，2010

[3]同济大学数学系.高等数学（上册）第七版[M].高等教育出版社，2014

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