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2020年高考“直线与圆”经典问题聚集

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王玮

直线和圆的几何性质在解析法中的应用，一直是高考命题的热点，凸显了代数方法研究几何性质和几何性质简化运算的本质属性。需要掌握直线的倾斜角和斜率，直线方程的几种形式（如点斜式、两点式和一般式等），两直线位置关系（平行、垂直）的判定和应用。需要掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，与圆有关的最值问题、弦长问题、轨迹问题等。本文以2020年高考试题为载体，对直线和圆中的热点题型进行归类剖析，希望对同学们的学习有所帮助。

聚焦1——恒过定点的直线系方程的应用

例1 （2020年高考全国Ⅲ卷文8）点（0，1）到直线y=k（x+1）的距离的最大值为（

）。

A.1 B.√2 C.√3 D.2

解析：由y=k（x+1）可知直线过定点P（ 1，0），设A（0，1），当直线y=k（x+1）与AP垂直时，点A到直线y=k（x+1）的距离最大，即为|AP|=√2。故选B。

反思：直线方程中含有参数一定是恒过定点的直线系，解出定点后可用几何法探究最值。如本题可探究恒过定点的直线系与直线外一点距离的最大值，转化两定点之间的距离，考查了点到直线距离公式，以及数学运算等学科素养。

聚焦2——待定系数法确定圆的方程

例2 （2020年高考北京卷5）已知半径为l的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（）。

A.4 B.5 C.6 D.7

解析：由题意知动圆的圆心在以（3，4）为圆心，1为半径的圆上，当且仅当动圆的圆心、原点和点（3，4）三点共线时，圆心到原点的距离最小为√32+42-l=4。故选A。

反思：由特殊条件和几何性质求圆的方程，关键是对圆两种方程构建过程的认知，合理选择一般式和标准式。一般地，与圆心和半径有关，选择标准式;否则，选择一般式。不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式进行求解。本题利用三点共线的条件确定圆心的坐标位置，进而求出圆心到原点距离的最小值，使问题简单化。

聚焦3——直接法探究圆的轨迹方程

例3 （2020年高考全国Ⅲ卷文6）在平面内，A，B是两个定点，C是动点。若AC . BC=1，则点C的轨迹为（）。

A.圆 B.椭圆 C.抛物线

D.直线

反思：用直接法探究动点轨迹方程，需合理建系，设出定点和动点的坐标，把几何条件坐标化，化简整理得到横纵坐标满足的关系式，这是探究轨迹方程最基本和直接的方法，反思：直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径得到圆心坐标与半径之间的关系，可以降元简化运算，凸显圆的几何性质的简化作用，考查数学运算、直觀想象等学科素养。

聚焦6——几何法探究直线和圆的最值或范围问题

反思：求解本题关键在于如何合理转化| PM|.|AB |最小，借助圆外一点作圆的切线构成的四边形共圆，利用点到直线距离最短等问题化归为求两圆的公共弦的方程问题，考查了直线与圆、圆与圆的位置关系，以及圆的几何性质的应用，考查数学运算、直观想象等学科素养。

（责任编辑王福华）

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