《数学核心素养下的“平面的基本性质”教学案例分析》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

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数学核心素养下的“平面的基本性质”教学案例分析

范文

仲小丽

【摘要】《普通高中数学课程标准（2017年版）》界定了数学核心素养的含义，教师应结合相应的教学内容，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程，不断探索和创新教学方式，引导学生会学数学，努力激发学生数学学习的兴趣，促使更多的学生热爱数学.

【关键词】核心素养，数学抽象，逻辑推理，直观想象

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》[1]界定了数学核心素养的含义，提出了六个数学核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，并阐述了每个数学核心素养的内涵、价值、表现和目标[2].

笔者近期参加了南京市“深度研课”项目活动，并有幸上了一节公开课《平面的基本性质》.从备课、研课、磨课到上课的一系列活动经历中，笔者受益匪浅.在备课的过程中，笔者认真研读了教材、教学参考书、课程标准等相关资料，结合自己对教材的分析和理解、对学生的了解以及教材大纲的要求，笔者有了自己的教学思路，设置了本节课的教学目标如下：通过实验1对“笔尖上的点与硬纸片的位置关系”的分析，让学生能够判断笔所在直线与硬纸片所在平面的位置关系，并归纳出公理1，通过实验2分析两个矩形硬纸片的位置关系，让学生根据平面的“无限延展性”，从看得见的“一个公共点”出发，找出两个平面的其他公共点，进而归纳出公理2，通过实验3对“保持硬纸板的稳定性”的探究分析，让学生能够初步判定“不共线的三点可以确定一个平面”，归纳出公理3.

二、课堂实录1

下面是第一次试讲的两个教学设计片段：

片段1：

师：工人师傅为了检查桌面是否“平整”，常常将一把直尺靠放在桌面上，看直尺与桌面之间是否有空隙，你知道这是为什么吗？

我们通过一个小实验来寻找木工师傅这么做的原理.

实验探究1：如果把硬纸片看作一个平面，把手中的笔看作一条直线的话.

（1）你能使笔上的一个点在平面内，而其他的点不在平面内吗？

（2）你能使笔上的两个点在平面内，而其他的点不在平面内吗？

设计意图将笔抽象成一条直线，硬纸片抽象成一个平面，通过笔和硬纸片的位置关系直观感受直线和平面的关系，降低公理学习的难度，调动学生学习的积极性，激发学生学习的兴趣.

师：这两个问题以及它们的答案能告诉我们什么？

生：（预设）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内.

师：很好！（板书）

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

师：现在能解释工人师傅那么做的理由了吗？

生：（预设）如果桌面是平的，那么直尺（直尺所在直线上所有的点）就全部落在平面内，不会有空出来的部分，有空隙就说明桌面是不平的.

师：说得很好.其实，这条性质是通过直线的“直”来说明平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来说明平面的“无限延展”.

对于平面的“无限延展”，大家還可以思考这个问题：一个平面可以将空间分成两个部分，若要从平面的一侧到达另一侧，能否绕过去？结论是不可能，只能穿过去.

那么平面的这条性质还有哪些作用呢？

生：（预设）这条性质为我们提供了判断一条直线是否在平面内的方法，同时也为我们在平面内画一条直线提供了理论依据.

片段2：

师：我们知道，两点可以确定一条直线，那么两点可以确定一个平面吗？多少个点可以确定一个平面呢？

师：这样吧，我们动手来做一个数学小实验，看看到底多少个点可以确定一个平面？

实验探究3：用你手中的笔尖，将一块硬纸板稳定在空中的某一个位置，使其保持水平平衡，你能做到吗？请同学们动手做实验，相互讨论交流，最后请学生代表分析并展示结果.

设计意图：学生通过做数学实验，（用笔尖将一块硬纸板平衡在空间某一位置，至少需要几支笔？）体会数学源于生活又高于生活，让学生在操作、观察中感悟确定一个平面的条件，学生间相互合作、相互提问，从感知到认知到理解，层层深入，挖掘出公理3的真正内涵.

师：请一名同学来谈谈你们的看法.

生：（预设）至少需要三支笔才能将硬纸板稳定在空中某一个位置，并且保持水平平衡.

师：如果把硬纸板看作一个平面，将笔尖看作一个点，能用一句话归纳你们的发现吗？

生：（预设）三点确定一个平面.

师：任意三点都可以确定一个平面吗？

生：（预设）不是的，如果这三个点在同一条直线上就无法确定一个平面.（能举个例子吗？）比如，用两个合页可以将门轴固定，此时，经过门轴所在直线的平面有无数多个，所以，门可以打开到任何一个位置，但是，再加一把锁就将门固定住了，就是因为两个合页、一把锁可以看成是不共线的三个点，它们确定了一个平面，门就不好动了.

师：这名同学抓住了问题的本质：三点不一定可以确定一个平面.那么，正确的表述应该是什么呢？

生：（预设）经过不在同一条直线上的三点，有一个平面.

师：经过不共线三点的平面有多少个呢？

生：（预设）只有一个.

师：很好！（补充规范并板书）

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

师：过一点的平面有多少个？过两点的呢？

过一点、两点以及同一直线上的三点都可以有无数个平面，只有过不在同一条直线上的三点才有且只有一个平面，而四个（及以上的）点不一定在同一个平面内.

师：你能用这条性质解释生活中的一些现象吗？

生：（预设）照相机支架只需要三条腿就够了，自行车只要一个脚撑就能将车停稳.

师：这条性质是确定平面的依据，其中“有且只有”的“有”是指平面存在，“只有一个”是指平面是唯一的.

三、教学思考

由于教学对象整体基础一般，因此，课堂的实际生成与教学预设并不一致，导致教学效果并不理想.

在片段1中，首先，一些学生不会将“手中的笔看成一条直线”.对他们来说，“如果笔上有两个点在平面内”，那么还可以有无数个其他的点不在这个平面内，因此，在实际教学中只能将公理1硬灌输给学生，效果甚微，其次，学生的实际水平还达不到能够用新学的公理1来解释木工师傅检查桌面是否平整的原理.

片段2的教学设计是一种比较理想的状态，实际操作时却出现了意想不到的状况，一些学生会想办法用一支笔的笔尖将硬纸板平衡在空中：由于硬纸板有一定的厚度，质量分布相对均匀，因此，通过找到硬纸板的重心，将笔尖戳进纸板就可以将硬纸板平衡在空中的某个位置了，这完全偏离了课堂的教学轨道，学生却沾沾自喜.

（一）教学反思

课后笔者做了深刻的反思，并与同行教师做了交流探讨，剖析这节课中存在的种种细节问题，试图寻求更合理、更有效的教学方法，能够让学生真正理解平面的基本性质.

本节课的知识是立体几何的逻辑起点，在教学设计中要体现立体几何的整体意识，给学生足够的时间去思考分析，针对学生的实际情况设计台阶，循循善诱，因人施教.因此，教学的落脚点不能仅定位于性质的应用，而应借助平面基本性质的学习，渗透公理化思想，形成有理有据、严谨求实的学习态度.在此基础上，笔者设计了有利于培养学生直观想象、逻辑推理和数学抽象核心素养的教学目标：（1）通过生活中熟悉的模型，提炼、抽象、概括出平面的描述性定义，（2）通过作图活动“在平面内画一条直线”，能够利用直线的“无限延伸”说明平面的“无限延展”，从而归纳出公理1，（3）通过作图活动“用图形表示空间当中两个不重合的平面”，从看得见的“一个公共点”出发，找出两个平面的其他的公共点，进而归纳出公理2，（4）通过观察、猜想，感悟“不在同一条直线上的三点可以确定一个平面”，再通過实验验证，在合作学习和相互提问中从感知到认知到理解，体会公理3的真正内涵，（5）通过知识与能力的螺旋式上升，逐步理解文字语言与符号语言、图形语言之间的一一对应，建立和提升学生的空间想象能力和几何直观能力，为知识的进一步发生奠定生长点.

（二）课堂实录2

最后呈现出来的部分课堂实录如下：

学生活动1：你认为平面是什么样的？请你用直尺和铅笔在学案上画一个平面.

设计意图：学生对平面是有一些感觉的，只是很难用语言表示出来，这里笔者做了一个大胆的尝试，根据学生已有的生活经验和数学知识的积累，给予学生足够的时间来分析和思考问题，让学生自己画一个平面，提升直观想象素养.

学生活动2：请在你刚刚画的平面内画一条直线.（学生画图，教师收集、展示.）

下面展示几种学生具有代表性的作图（图3）：

问题1：怎样说明你画的直线上所有的点都在这个平面内呢？

问题2：请归纳一下我们刚才的发现：

补充、规范得到公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理1实际上是用直线的无限延伸来说明平面的无限延展.

设计意图：根据学生的作图，以启发式的语言展开师生之间的对话，展示学生的想法，在分析交流中一步步引导学生用规范的语言和图形来描述直线和平面，感知通过直线的“无限延伸”来说明平面的“无限延展”，提升学生的逻辑推理和数学抽象素养.

公理1的符号语言：

根据公理1，我们可以判断一条直线是否在一个平面内，同时，我们也有了在一个平面内画一条直线的依据：只要有两个点就可以了.

学生活动4：

（1）我们知道两点可以确定一条直线，那么两点可以确定一个平面吗？

（2）多少个点可以确定一个平面？

（3）过任意的三点都有一个平面吗？

（4）你能用一个例子来说明你的观点吗？

（5）经过不在同一条直线上的三点的平面有多少个？

（5）请用数学语言来描述刚才的发现.

设计意图：从学生熟悉的“两点确定一条直线”出发，提问学生“两点是否可以确定一个平面？”“多少个点可以确定一个平面？”等等.以问题串合理设计台阶，问题层层递进，引导学生一步一步深入思考，在师生、生生的对话交流间将问题层层剖析，既符合学生的最近发展区，又能激发学生学习的热情和兴趣.

教师补充规范并板书：

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

过一点的平面有多少个？过两点的呢？

你能用这条性质解释生活中的一些现象吗？

这条性质是确定平面的依据，其中“有且只有”的“有”是指平面存在，“只有一个”是指平面是唯一的.

四、写在课后

基于核心素养的教学，教学活动的设计要以学生为主体，要符合学生现有的知识水平、遵循学生的认知发展规律，否则，看似“理想”的教学设计在课堂上会遭到“破坏”.实践表明，经过重新设计的教学活动更加尊重学生的思维发展，更有利于学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力，学生在问题探究中领悟知识，形成能力，积累从具体到抽象的活动经验，运用数学抽象的思维方式思考并解决问题，直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，贯穿在整节课堂中，让学生在具体的情境中感悟事物的本质.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]罗增儒.基于核心素养的教学研修——在“核心素养背景下数学教师的专业发展”（南京）会议上的发言（整理）[J].中学数学教学参考，2018（9）：5-10.

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