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标题 聚焦中考概率的“交汇性”
范文

    韩祥安

    

    

    [摘 要]探究概率与一次函数、二次函数、对称图形的交汇,以让学生了解不同类数学知识之间的联系,提高学生分析问题与解决问题的能力.

    [关键词]聚焦;概率;中考;交汇

    [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058(2020)29-0001-02

    近年中考中,概率的考查逐渐与其他知识结合.从若干个数中抽取两个或三个数,当这两个或三个数作为二次函数或一次函数解析式的系数时,概率就与函数结合了起来;当这两个或三个数作为一元二次方程的系数时,概率就与方程结合了起来;当抽取的对象是几何图形时,概率就与几何结合了起来.

    一、概率与二次函数的交汇

    现有若干个实数,任意抽取两个数,求它们的和、差或积或商,这是一般的概率问题.当这两个数作为二次函数图像的顶点坐标时,这样的二次函数有多少?这需要运用列表法或画树状图的方法找出所有可能的结果,就是二次函数的个数.那么这些二次函数中符合某一要求的函数,如图像交于y轴负半轴,或顶点在坐标轴上的概率是多少?此时要根据二次函数的性质找出符合题意的函数个数,再利用概率公式计算.

    [例1]已知二次函数的表达式为[y=(x﹣m)2+n].它的顶点坐标是-2~2五个连续整数中的两个,

    (1)如果顶点的横坐标为1,纵坐标是剩下四个数中的一个,由此形成四条抛物线,那么它们与y轴负半轴相交的概率是多少?

    (2)从五个连续整数中取两个数作为抛物线的顶点,抛物线的顶点可能在横轴或纵轴上,这种情况的概率是多少?

    评注:此题第一小题是一步完成的事件,直接使用概率公式解答;第二小题是两步完成的事件,使用了画树状图的方法找出所有可能的结果.此题同时考查了二次函数图像与y轴相交、顶点坐标等性质.

    二、概率与一次函数的交汇

    从若干个实数中任意抽取两个数,这两个数分别作为一次函数解析式的自变量系数和常数项时,概率与一次函数实现了交汇.任意抽取的结果有许多种,但是符合某一条件的结果也有几种,如函数值随自变量增大而增大的情况,或图像不经过某一象限的一次函数等,此时求发生概率,需要运用概率公式计算.

    [例2]有三张纸片,它们的一面写着数字,分别是-1、1、2,然后将纸片的另一面向上.

    (1)从刚才的纸片中任意拿一张,恰好是2的概率是多少?

    (2)先随机抽取一张,以其正面数字作为k值,将卡片放回再随机抽一张,以其正面的数字作为b值,请你用恰当的方法表示所有可能的结果,并求出直线[y=kx+b]的图像不经过第四象限的概率.

    (2)根据题意先列出图表,得出所有可能情況数和直线[y=kx+b]的图像不经过第四象限的情况数,然后根据概率公式求解.列表如下:

    评注:此题第(2)题是放回事件,第一次抽取时抽取数字-1,第二次抽取时还有可能抽到-1,它区别于不放回事件,这是学生在解答时容易出错之处.一次函数图像不经过第四象限,可能有两种情况,一是经过第一、二、三象限,二是经过第一、三象限,即[k>0],[b≥0].

    三、概率与对称图形的交汇

    在抽取的对象中,可以是数字、字母,也可以是几何图形,当抽取对象是对称图形时,概率就与对称图形实现了交汇.一组轴对称或中心对称的图形,任意抽取一个,可以求抽到中心对称图形的概率;或者任意抽取两个,可以求抽到的图形都是轴对称图形的概率,此时需要运用列表法或树状图法找出所有可能的结果,再用概率公式计算.

    [例3]现有纸片5张(如图2),它们的一面绘有不同的图案,另一面没有图案,将这一面放在桌子上,

    (1)纸片上的图案有轴对称的,也有中心对称的,如果任意拿一张,恰好是中心对称图形的概率是多少?

    (2)如果从五张纸片中随意抽取两张,这两张的情况有若干种,那么这两张都是轴对称图形的概率是多少?

    解析:(1)直接利用概率公式求解.

    因为共有5张卡片,是中心对称图形的卡片有两张,是轴对称图形的卡片有3张,所以如果任意拿一张,恰好是中心对称图形的概率为2/5.

    (2)画树状图列出所有可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式计算可得.画树状图如图3:

    由树状图知,共有20种可能结果,其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果,所以这两张都是轴对称的概率是3/10.

    评注:中心对称图形是指绕中心旋转180°后能与自身重合的图形.也就是说,图形的左边与右边,上边与下边,左上与右下,左下与右上的图形是一样的.轴对称图形是指沿对称轴对折后,对称轴两旁的部分能互相重合,图形是否是轴对称图形的关键是能否找到对称轴.

    概率的交汇性问题还包括概率与一元二次方程,即将一组数字中的两个数作为一元二次方程的系数,求能使一元二次方程有实根的概率.当抽取的对象不是数字而是汉字时,概率与汉字也实现了交汇.此类问题一方面考查了概率的有关计算,另一方面也考查了相结合知识的掌握情况,加强了不同类数学知识之间的联系,提高了学生分析问题与解决问题的能力.

    [? ?参? ?考? ?文? ?献? ?]

    [1]? 李万国.概率交汇试题的归类解析[J].中学数学杂志,2016(1):50-52.

    [2]? 马丽霞,李祎.品味概率与其他知识的交汇[J].中学数学研究,2012(10):9-12.

    [3]? 曹经富.概率与其他数学知识的交汇[J].初中生之友,2011(33):47-49.

    (责任编辑 黄桂坚)

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更新时间:2025/3/14 16:32:53