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用留数定理计算实定积分限制条件的新证明思路

范文

周磊王春娥

【摘要】在可以用留数定理计算的三类定积分形式中，第二类和第三类的定积分的分母x的最高次幂m与分子x的最高次幂n必须分别满足m大于等于n+2和m大于等于n+1.区别于书本上烦琐的证明过程，本文提出了一个更加清晰明了、简单易懂的新证明思路来帮助学生深入理解这两类定积分使用留数来计算的限制条件.

【关键词】留数定理;定积分计算;限制条件;新证明思路

一、引?言

使用留数定理计算三类定积分是复变函数一个重要的应用分支.其中第二类和第三类定积分的分母中x的最高次幂m和分子中x的最高次幂必须满足一定条件才能用留數定理来计算.这三类定积分分别为：

（1）第一类定积分：∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ;

（2）第二类定积分：∫+∞-∞R（x）dx，限制条件为m≥n+2;

（3）第三类定积分：∫+∞-∞R（x）eiαxdx（α>0），限制条件为m≥n+1.

各种教材中对第二类和第三类定积分计算的限制条件均有详细的证明[1][2]，但晦涩难懂.在一些科研论文[3-8]中也遵循同样的证明思路.这非常不利于学生对使用留数定理计算第二类、第三类定积分限制条件的理解，也不利于学生灵活地运用留数定理计算定积分.故找到一种清晰明了、简单易懂的证明思路才是解决这一教学难点的关键所在，下文先给出证明思路，然后给出详细的证明过程，最后在小结本证明思路的优点.

二、证明思路

先证明第二类积分的限制条件，然后引申出第三类积分的限制条件.第二类积分限制条件的证明基本流程如图1所示.其中CR为围绕R（z）所有极点的逆时针半圆弧路径，R为圆弧半径.

证明开始

↓

s1：证明m≤n时，定积分不存在

↓

s2：引出 limR→∞∮C RR（z）dz=0是限制条件

↓

s3： limR→∞∮C RR（z）dz=0得出m≥n+2结论

↓

证明结束

三、证明二类积分m小于等于n时积分不存在

对R（x），可以写成：

R（x）=a0+a1x+…+anxnb0+b1x+…+bmxm.（1）

当m≤n时，R（x）必可改写为：

R（x）=c0+c1x+…+cn-mxn-m+d0+d1x+…+dm-1xm-1b0+b1x+…+bmxm，

保证分子中x的最高次幂小于分母中x的最高次幂一次，其中cn-m≠0.

由于∫∞-∞（c0+c1x+…+cn-mxn-m）dx=cn-m∞，

故∫∞-∞R（x）dx=cn-m∞，

即二类积分在m≤n时积分不存在.

四、证明m大于n时二类积分存在的限制条件

在m>n时，做x=z=u+iv替换，把定积分引入复数域.取围住所有R（z）在Img（z）>0内的所有极点的半圆弧CR与实轴-R到R构成积分路径C，如图2所示.

替换后可得：

∮CR（z）dz=∮CRR（z）dz+∫R-RR（z）dz

=∮CRR（z）dz+∫R-RR（u）du，

在取极限后：

limR→∞∮CR（z）dz=limR→∞∮CRR（z）dz+∫∞-∞R（x）dx，

可见，只要：limR→∞∮CRR（z）dz=0，（2）

便可得：

limR→∞∮CR（z）dz=∫∞-∞R（x）dx

=2πilimR→∞∑m2i=1Res[R（z），pi]，

其中，pi为R（z）在上半复平面上的极点.这样二类积分便转化为求留数.

现代入公式（1）到公式（2）化简后，设z=Reiα，dz=Rieiα，再代入公式（2）可得：

limR→∞∮CRR（z）dz

=limR→∞∮CR1zm-na0z-n+a1z-n+1+…+anb0z-m+b1z-m+1+…+bmdz

=limR→∞∮CR1zm-nanbmdz

=anbmlimR→∞∫π0[Rn-m+1eiα（n-m+1）]dα

=anbmlimR→∞∫π0dα=anbmπ，n-m+1=0，anbmlimR→∞Rn-m+1n-m+1eiα（n-m+1）|π0=0，n-m+1<0.

最终得到公式（2）为0的条件为n-m+1<0.而n与m是自然数，故最终二类积分可用留数定理来求的限制条件可证明为n-m+1≤-1，即m≥n+2.

五、证明三类积分的限制条件为m大于等于n+1

考查三类积分中的eiαx项，在CR上当R→∞时的情况.取x=z=u+iv时：

eiαx=eiαz=e-αveiαu.

由于在CR上，在R→∞时，α>0时，-αu→-∞，eiαz→0.这说明R→∞，z→∞时，eiαz相当于1z，即在R→∞时，R（z）eiαz相当于R（z）z.

由此，根据二类积分的限制条件，limR→∞∮CRR（z）zdz=0的条件为n-（m+1）+1≤-1，即三类积分可以用留数定理求的限制条件为m≥n+1.

六、小?结

至此，根据图1的证明流程完整、清晰地证明了二类积分可以用留数定理求的限制条件为m≥n+2，并经过简单地引申，使用二类积分的证明得到了三类积分可以用留数定理求的限制条件为m≥n+1.证明过程非常自然地贴近常规思维分析过程，没有任何突兀的假设，有利于学生在学习的时候抓住用留数定理求第二类和第三类实定积分限制条件的本质.

【参考文献】

[1]西安交通大学高等数学教研室.工程数学：复变函数[M].北京：人民教育出版社，1981.

[2]钟玉泉.复变函数论：第3版[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]徐建中.留数定理在实积分中的应用研究[J].西昌学院学报（自然科学版），2018（3）：57-59.

[4]李梦雨，岳晓蕊.复变函数积分种类和办法及留数简单计算技巧[J].高教学刊，2017（24）：119-121.

[5]王玉磊，李彩娟.利用留数定理计算一类广义积分[J].高师理科学刊，2016（10）：23-24.

[6]智丽丽，李艳青.留数定理在积分计算中的应用[J].昌吉学院学报，2014（1）：79-81.

[7]沈进东.采用比较教学法讲解“用留数定理计算实积分”[J].教育教学论坛，2012（31）：94-96.

[8]许平，张海亮.留数定理在定积分计算中的应用[J].数学学习与研究，2012（3）：81-82.

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