《一道数学竞赛命题的证明及推广》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

标题

一道数学竞赛命题的证明及推广

范文

张靖华

【摘要】把两全等的n多边形叠放在一起如果重叠部分是一个2n边形，则此2n边形的编号为奇数的边长的平方和等于编号为偶数的边长的平方和.

【关键词】全等;相似;叠放;奇数边;偶数边

1988年全国初中数学联赛第二试第3题：如图1所示，已知△PQR和S△P′Q′R′是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF的边长记为：AB=a1，BC=b1，CD=a2，DE=b2，EF=a3，FA=b3.求证：a21+a22+a23=b21+b22+b23.

证明?设等边三角形面积S△PQR=S△P′Q′R′=S，六边形ABCDEF的面积SABCDEF=S′，

由题设知：

S△APB∽S△CQ′B∽S△CQD∽S△ER′D∽S△ERF∽S△AP′F.

由相似三角形的性质知

S△APB∶S△CQ′B=a21∶b21，?（1）S△CQD∶S△CQ′B=a22∶b21，?（2）S△ERF∶S△CQ′B=a23∶b21，?（3）

S△CQ′B∶S△CQ′B=b21∶b21，?（4）S△ER′D∶S△CQ′B=b22∶b21，?（5）S△AP′F∶S△CQ′B=b23∶b21.?（6）

（1）+（2）+（3）（S△APB+S△CQD+S△ERF）∶S△CQ′B=（a21+a22+a23）∶b21，（7）

（4）+（5）+（6）（S△CQ′B+S△ER′D+S△AP′F）∶S△CQ′B=（b21+b22+b23）∶b21，（8）

S△APB+S△CQD+S△ERF=S△PQR-S′=S-S′，（9）

S△CQ′B+S△ER′D+S△AP′F=S△P′Q′R′-S′=S-S′.（10）

由（7）～（10）得a21+a22+a23=b21+b22+b23.证毕.此命题可推广到正n边形中.

定义?n邊形A1A2A3…An-1An的边A1A2，A2A3，A3A4，…，An-1An，AnA1依次记为a1，a2，a3，…，an-1，an（n≥3）脚标为奇数的边叫奇数边，脚标为偶数的边叫偶数边.

定理?如图2所示，两个全等的正n边形P1p2p3…Pn-1Pn，和正n边形Q1Q2Q3…Qn-1Qn，叠放在一起，如果重叠部分是一个2n边形A1A2A3…A2n-1A2n（n≥3），则此2n边形的奇数边的平方和等于偶数边的平方和.

证明?设正n边形的面积为S，2n边形的面积为S′，把2n边形A1A2A3…A2n-1A2n的边依次记为：a1，a2，a3，…，a2n-1，a2n;把以a1，a2，a3，…，a2n-1，a2n为边的三角形依次记为：△1，△2，△3，…，△2n-1，△2n，把其对应的三角形面积依次记为：

S△1，S△2，S△3，…，S△2n-1，S△2n.则△1∽△2△3∽…∽△2n-1∽△2n.由此可知：

∑ni=1S△2iS△1=∑ni=1a2ia12=1a21∑ni=1a22i，（1）

∑ni=1S△2i-1S△1=∑ni=1a2i-1a12=1a21∑ni=1a22i-1，（2）

∑ni=1S△2i=∑ni=1S△2i-1=S-S′.（3）

由（1）～（3）知：∑ni=1a22i-1=∑ni=1a22i证毕.

随便看

科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。