标题 | 一类圆锥曲线试题的解法探究 |
范文 | 在高三复习课中,笔者充分利用几道圆锥曲线试题进行求解方法的探索,学生收获大,感触颇多,达到了很好的复习效果. 1 试题呈现 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线,过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则|的方程为_______________. 2 解法探究 本题考查抛物线的几何性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查化归与转化思想、运算求解能力,逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力. 解法1 利用抛物线定义及平几知识 不妨先设直线,的斜率k>0,且点A在x轴上方,点B在x轴下方.过点A作x轴的垂线,过点B作x轴的平行线,相交于点C. 令|BF|=m,则|AF|=3m,|AB|= 4m. 由定义可知|BC|=2m. 解法2 利用焦点弦公式及结论 说明利用二级结论有助于快速解题,本题还可弦AB的倾斜角)求解. 解法3 利用韦达定理 不妨先设直线,的方程为y=k(x-1)(k>o),且点A(xl,y1)在x轴上方,点B(x1,y2)在x轴下方. 解法4 利用點差法 不妨先设点A(x1,y1)在x轴上方, 点B(x2,y2)在x轴下方. 由|AF|=3|BF|, 有yl=-3y2,x1+3x2=4. 又y2=4x1(1),y22=4x2(2), (1)-32×(2)得yl2-(3y2)2=4x1-36x2. 把y1=-3y2代入得Xl=9x2· 又x1+3x2=4,解得x1=3, 评述 解法l利用定义、平几知识与数形结合求解,运用定义是解圆锥曲线问题的重要途径;解法2利用焦点弦公式及二级结论,可快速求出答案;解法3采用联立方程组,通过韦达定理消元,也能求出直线的斜率,这是处理直线与圆锥曲线位置关系的通性通法;解法4利用点差法巧妙转化求出其中一个交点坐标,再利用两点坐标求出斜率.从解题本质来看,它们各有特色. 3 变式题组 在课堂上,完成了例题的分析、讲解与剖析之后,给出了变式l与变式2作为课堂练习,变式3作为课后作业完成,意图是通过抛物线过渡到椭圆,再到双曲线,一次次地体验与感悟,使变式探究异常精彩,激发学生的探究兴趣,培养他们的分析问题、解决问题以及探究能力. 变式1 已知直线y=k(x+2)(k>o)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=____. 分析从题干知直线AB没有经过焦点,由定义只能得到点B为线段AP的中点(点P为直线AB与x轴的交点),无法仿照例题的解法l和解法2,因此只能采用解法3和解法4类似求解. 变式2 解法1 利用椭圆的距离定义与余弦定理 椭圆的左焦点为F,连接AF和BF. 令|FB|=m,则|AF|=3m. 由距离定义知|AF'|=2a-3m, |BF'|=2a-m. 设直线AB的倾斜角为θ, 则∠F'FA=θ,∠BFF=π-θ. 在△FAF中,由余弦定理有: (2a-3m)2=4c2+9m2-2x2cx3mcosθ, 整理得b2=3m(a-ccosθ)· 同理,在△BFF中有b2=m(a+ccosθ). 两式消b及m得2ecosθ=1, 评述 利用定义解题是常态,却鲜有想到利用余弦定理求解圆锥曲线问题,笔者曾在文[1]中运用余弦定理求解双曲线的有关问题.此法有一定的计算量,但不失真,易建立离心率与直线倾斜角之间的等量关系. 解法2 利用椭圆的比值定义及比例性质 如图l,令|FB|=m,则|AF|=3m. 评述 利用比值定义,借助比例性质,数形结合巧妙求解,逻辑推理能力要求较强. 解法3 利用椭圆的焦半径公式及弦长公式 设A(xi,yl),B(X2,y2), 由焦半径公式有|AF|=a-ex,|BF|=a-ex2· 又AF=3FB, 评述 利用焦半径公式和弦长公式,设而不求,巧求斜率,言简意赅. 解法4 利用韦达定理 解法5 利用点差法 (解法4和解法5与例题解法3和解法4类似,限于篇幅从略.) 变式3 AF=4FB,则双曲线C的离心率为____. 评述 变式2的5种解法均适合本题,可类似求解. 上述4道试题看似平常,却独具匠心.从多角度切入,既有各自的特点,又有共性的解法,体现“以能力为主”,考查能力与数学素养.通过对这一类试题的解法探究、对比分析与提炼,激发了学生的求知欲,实现学生在课堂的认知参与,培养他们的洞察力与辨析能力,体会到“一题多解”与“多题归一”是不可或缺的,达到增效减负之意图,掌握解决数学问题的本质,让课堂教学真正走向有效课堂,促进学生对数学解题的深度理解,建构知识与方法体系.这样的探究锻炼了学生的解题思维,感受知识与方法的内在联系,形成更清晰的认识与理解,最终把数学核心素养的培养融合于学生的课堂内外. 参考文献 [1]谢盛富,对一道双曲线试题的解法探究与思考[J].福建中学数学,2016(6):33-35 |
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