标题 | “直观想象”在全国卷数列试题中的应用探析 |
范文 | 杨幼妹+林新建![]() “直观想象”是高中数学核心素养的重要内涵. “直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形態与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程, “直观想象”主要包括:借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路, “直观想象”在解题上有重要作用,可以帮助我们快速探明问题的解决方向,轻松将问题予以解决. 以下以全国卷试题为例,就“直观想象”在数列解题上的应用作一探析,以飨读者. 1运用“直观想象”预测数列问题的变化规律 运用“直观想象”策略,可以较好地预测数列问题的变化规律,进而依循规律使问题获得轻松解决, 例1 (2012年高考全国新课标卷I.理16)数列{an}满足an+1+(-l)nan=2n-1,则{an}的前60项和为____. 分析本题是填空把关题,依常规方法求解极为繁琐.其实,由“直观想象”不难预知,本题是填空题,故不论数列{an}如何变化,其前60项的和不因数列的变化而变化,由此我们可将首项特殊化予以求解. 解析由an+1+(-l)nan=2n-1, 得an+l= 2n-1-(-l)nan. 令a1=1,则有a2=2,a3=1,a4=6, a5=1, a6=10, a7=1, a8=14,… 至此可以发现,数列{an}的奇数项均为1;偶数项是以2为首项,4为公差的等差教列, 故S60=30×1+(30×2+(30×29)/2×4)=1830. 评析上述求解轻松快捷,不亦乐乎,这得益于首项的特殊化,否则规律不易探明,求解势必复杂耗时,而想到运用“特殊化”策略予以求解,这又取决于对数列变化规律的“直观想象”,凸显了“直观想象”在预测数列问题的变化规律上的重要作用. 2运用“直观想象”剖析数列问题的本质特征 运用“直观想象”策略较好地剖析数列问题的本质特征,进而根据本质特征可将问题轻松予以解决, 例2 (2014年高考全国卷I.理17)已知数列{an)的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数. (I)证明:an+2-an=λ; (Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 分析本题难在第(Ⅱ)问,难在如何判断λ是否存在,以及如何求出λ均值,解题似乎无从下手, 其实,由“直观想象”不难得知,若存在满足条件的λ,,使得{a}为等差数列,则{an}的前三项必成等差,由此可求出λ的值,问题不难获解, 解析由a =1及anan+l= λSn一1,得a2=λ一1. 又由a+2-an=λ,可得a3=λ+1. 依题意,若存在满足条件的λ,使得{an}为等差数列,则a1,a2,a3必成等差,则由2a2=a1+a3,即得λ=4,以下不难予以证明. 评析基于数列问题的本质特征——结论的一般性,我们运用了前三项必成等差这一结论,使得问题获得轻松解决. 而想到这样子来求λ的值,则是源于对数列问题本质特征的“直观想象”,凸显了“直观想象”在剖析数列问题的本质特征上的重要作用. 3运用“直观想象”构建数列问题的直观模型 运用“直观想象”策略,可以较好地构建数列问题的直观模型,进而借助模型可将问题轻松予以解决. 例3 (2014年高考全国卷Ⅱ.理17)已知{an}满足a1 =1,an+l=3an+1. 评祈问题的解决得益于将右式的3/2转化为等比数列的和,如果没有转化,这一证明根本无从进行.而之所以想到作这样的“转化”,则取决于对待证式子的“直观想象”,凸显了“直观想象”在构建数列问题的直观模型上的重要作用. 例4 (2002年高考全国卷I.理22)设数列{an}满足an+1=an2-nan+1,n=l,2,3,…, (I)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式; (Ⅱ)当a1>3时,证明对所有的n≥l,有 ①an≥n+2; 同样,问题的解决得益于借助“直观想象”将右式的1/2去转化为等比数列的和,如果没有这种“直观想象”,就不可能作这样的转化,解题根本无从进行,凸显了“直观想象”在构建数列问题的直观模型上的重要作用, “直观想象”在数学解题中有着重要的作用,在直观想象核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维,平时教学和高考复习都应予以足够的重视. |
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