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段惠民 肖丽华 以下是大家熟悉的一个传统解析几何题: 题目 已知直线l:y=4x和点R(6,4),在l上求一点Q,使直线RQ与l及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小. 文[1]给出了上题的五种解法,欣赏之后,似有意犹未尽之感. 本题求出的Q点坐标为(2,8),而R点坐标为(6,4),设QR交x轴于P,则R点恰好为QP的中点,这难道是巧合?由此引发笔者思考而得出以下两个结论. 定理1 P是∠BAC内一定点,过P作直线EF交∠BAC的两边AB、AC于E、F,当△AEF的面积最小时,P为EF的中点. 证 如图2,延长AP到G,使PG=AP,过G分别作AB,AC的平行线交AB于E,AC于 F,则P是鰽EGF的中心,故P是EF的中点,过P任作一直线交AB于E′,交AC于F′,不妨设E′在线段AE内,F′在AF的延长线上,设E′F′交FG于S,则面积 S△E′EP=S△SFP∴S△AEF由此可见,上述解析几何题实在是一个简单的问题,但笔者感兴趣的是它的一个类比问题:如果P是已知三面角内的一个定点,类似的四面体体积的最小值是否也有规律可寻? 事实上,以下定理是成立的. 定理2 已知P是三面角O-ABC内的一个定点,过P作平面交射线OA,OB,OC于D,E,F,当四面体ODEF体积最小时,P为△DEF的重心. |