标题 | 由一道高中数学联赛题得到的一个关系式 |
范文 | 林新建 题目 (1982年全国第二届高中数学联赛):已知:(1)半圆的直径AB长为2r;(2)半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足为点T,|AT|=2a(2a 定理 设圆锥曲线E的焦点为F,在对称轴上F的一侧取点A,以FA为直 径作圆C与曲线E在对称轴上方部分交于M、N两点,则|FM|+|FN||FA|=1e(其中e为圆锥曲线的离心率). 证明:以圆锥曲线过焦点F的对称轴所在直线为x轴,F为坐标原点建立直角坐标系.设焦点F到相应准线l的距离为p,则得F(0,0),准线l的方程为x=-p. 设P(x,y)为圆锥曲线上一点,它到准线l的距离为d,则由题设及圆锥曲线统一定义得|PF|d=e輡PF|2=d2e2輝2+y2=e2|x+p|2. 化简得圆锥曲线方程为(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,设圆C的半径为R,则圆心C为(R,0),圆C的方程为(x-R)2+y2=R2. 将圆C方程与曲线E的方程联立,消去y得x2+2(p-Re2)x+p2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2(p-Re2).从而|FM|+|FN|=e(x1+p)+e(x2+p)=e(x1+x2+2p)=2Re,所以|FM|+|FN||FA|=2Re2R=1e. 当曲线分别为椭圆、双曲线、抛物线时,我们得到如下三个性质. 性质1 如图1,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左(右)焦点为F,在x轴上F的右(左)侧有一点A,以FA为直径作圆C与椭圆E在x轴上方部分交于M、N两点,则|FM|+|FN||FA|=1e(其中e为椭圆的离心率).[LM]性质2 如图2,双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右(左)焦点为F,在x轴上F的右(左)侧有一点A,以FA为直径作圆C与双曲线E在x轴上方部分交于M、N两点,则|FM|+|FN||FA|=1e(其中e为双曲线的离心率).性质3 如图3,抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,在x轴上F的右侧有一点A,以FA为直径作圆C与抛物线E在x轴上方部分交于M、N两点,则|FM|+|FN||FA|=1e(其中e为抛物线的离心率). 显见,对抛物线而言,e=1,所以本文开头的试题,就是性质3的一个等价形式. 注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。” |
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