《“两角差的余弦公式”的教学设计》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

标题

“两角差的余弦公式”的教学设计

范文

刘婷

【摘要】文章以高中数学“两角差的余弦公式”为例，针对高中数学的教学目标，明确教学重点和难点，坚持采用“引导——启发——探究”的教学方法，以学生为本，让学生体验知识发现的过程，对教学内容进行教学设计，以期建构“生本课堂”，提高课堂教学质量.

【关键词】高中数学;两角差的余弦公式;生本课堂

一、教学内容分析

本节课选自人教A版高中数学必修4第三章“三角恒等变换”第一节课“3.1.1两角差的余弦公式”.变换是数学的重要工具，而三角恒等变换处于三角函数知识与数学变换知识的结合点和交汇点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材.两角差的余弦公式是“三角恒等变换”这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点.教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力.教材里面没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行，从简单情况入手得出结果，有利于学生学会探究和思维的发展.由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台.教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析问题，寻找解决问题的思路.

二、教学目标

1.知识与技能：通过探索得到两角差的余弦公式，证明两角差的余弦公式，熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能运用该公式进行求值、计算.

2.过程与方法：利用单位圆中正弦线、余弦线证明以及利用向量知识证明，通过一系列设问和答疑，形成公式的全部证明思路，培养学生观察、猜想、归纳、分类讨论等思维能力.

3.情感态度与价值观：培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.

三、教学重点、难点

1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式与运用两角差的余弦公式.

2.难点：证明两角差的余弦公式.

四、教法及教具

教法：本课采用“引导——启发——探究”的教学方法，以学生为本，让学生体验知识发现的过程，感悟数学研究的思路，渗透数学思想方法.

教具：采用平板电脑上课.

五、教学过程

（一）探索两角差的余弦公式

思考1?我们在初中时就知道cos45°=22，cos 30°=32，由此我们能否得到cos 15°=cos（45°-30°）=？大家可以验证一下，是不是等于cos 45°-cos 30°呢？

设计意图：让学生意识到两角差的余弦并不是简单的两角余弦的差，同时引起学生探究学习的兴趣.

思考2?若已知α，β的正余弦函数值，那么cos（α-β）的值是否确定？它与α，β的正余弦函数值有什么关系？

设计意图：依托学生已学的三角函数知识，启发学生联想，触发学生形成解决问题的基本方向.

思考3?请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.

设计意图：通过四个特殊的式子，让学生发现共同的特征，探究归纳，提出猜想，渗透了猜想、归纳、特殊到一般的数学思想.

（二）证明两角差的余弦公式

证法1?播放一个微视频，在角α，β与α-β均为锐角的特殊情况下，运用三角函数线证明两角差的余弦公式.

设计意图：此证法运用三角函数线证明两角差的余弦公式，过程较烦琐，学生不好理解，而且将特殊角推广到任意角很复雜.观看微视频可以激发学生的学习兴趣，并且可以节省时间，提高课堂效率.

证法2?如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点A，B，请回答下列问题：

问题3?设向量OA与OB的夹角为θ，它与角α，β之间有什么关系呢？

设计意图：利用向量探究两角差的余弦公式的思维形成过程，通过和证法1的比较，学生自然体会证法2的思路更清晰，过程更简洁.

（三）运用两角差的余弦公式

例1?利用两角差的余弦公式求cos 15°的值.

设计意图：此例题是简单题.启动平板电脑师生互动环节中的抢答模式，可以充分调动学生的积极性，从而使其掌握公式的简单运用.

学生的反思与感悟：在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角（如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…）之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值.而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos 15°=cos（60°-45°），cos 15°=cos（45°-30°）.

设计意图：此例题是中档难度题型，解答此题不仅要运用本节课的公式，还需要运用同角三角函数基本关系式.启动平板电脑师生互动环节中的展示模式，学生的解答过程呈现在大屏幕上，方便教师点评答题是否按照高考采分点阅卷模式规范作答.

设计意图：本题对于初学两角差的余弦公式的学生来说，是一道中档偏难的题型.学生有可能会将π4+θ=π4-（-θ），运用两角差的余弦公式得到一个关于cos θ和sin θ的方程，再联立cos2 θ+sin2 θ=1求解.设计变式训练可以更进一步突出本节课的教学重点，从而突破教学难点.

学生的反思与感悟：给式求值或给值求值问题，由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“ 正负号”的取舍以及巧妙地变换角度.

（四）当堂检测

设计意图：本节课的自我检测，有利于学生及时巩固所学内容，利用课堂时间熟记和灵活运用公式，提高课堂的效率.

（五）课堂小结

1.在本节课的学习中，教师用到了什么数学思想方法？

2.在本节课的学习中，教师联系了什么数学知识？

3.利用两角差的余弦公式进行求值、计算时，应注意什么？

设计意图：学生进行自我小结可以巩固本节课的数学知识和数学思想方法，以及完善知识结构体系和强化理解思路的完整性.

（六）课后反思

你通过本节课的学习，收获了什么？还有什么困惑吗？

设计意图：开放式的课后反思，不同的学生有不同的学习体验和收获.学生可以交流心得和体会，查漏补缺，再次扣住本节课的重点、难点、易错点和易漏点.

设计意图：本题是综合题，考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系和角度的变换，难点是角度的范围和“正负号”的取舍，设置选做题部分，促进优生成长.

六、教学后记

1.本节课采用平板电脑上课，借助平板电脑存储容量强大，并且集音频、视频、图片、PPT等多种形式于一身的优势，使课堂授课方式灵活多样. 师生人手一台平板电脑，轻松实现屏幕同传，使师生的互动更加轻松流畅.学生通过平板电脑提交作业，教师讲课、评作业方便快捷，及时反馈课堂的教学效果.同时资料在平板电脑终端能永久留存，便于学生课后随时查阅复习.

2.“生本课堂”是新课程的一个重要理念.在课堂设计中，充分让学生成为课堂主动求知和探索的主体.根据学生的认知发展规律来设计教学方案，让学生亲身体验公式的“探索”和证明过程，在灵活运用公式、掌握基础知识的同时获得学习的成就感.

笔者认为作为一位数学教师，首先要做到传授数学基础知识，其次要培养学生提炼总结能力和渗透数学思想，更重要的是立德树人，做好学生的引路人.

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