| 标题 | 初中数学核心题的构建技术与案例分析 |
| 范文 | 曹嘉兴 美国著名数学家P.R.Halmos在《数学的心脏》一文中提出：“数学究竟是由什么组成的？公理？定理？证明？概念？定义？理论？公式？方法？”，Halmos认为这些固然都很重要，但都不是数学的心脏，他强调指出：“问题是数学的心脏.”学习数学离不开解决问题，帮助学生提高解决问题的能力是数学教学的主要目的和任务.但是题海漫漫，一个人穷其一生也不可能将其做完，更何况各类新题也是层出不穷，令人目不暇接.于是人们不禁会问在有限的时间里面（比如初中三年）该做哪些题既能提高数学成绩和解题能力，又能减轻学生过重的学习负担？这是一个仁者见仁，智者见智的问题，许多数学教育家和优秀数学教师都作了不少探索.例如，著名数学教育家单墫教授在《解题研究》一书中就提出“要做有质量的题”，“对于优秀的同学来说，题目的质比量更为重要”.而市面上那些由特级教师领衔主编的各类教辅资料，也无非是提供了一些质量相对较好的题目供师生教学所用.基于以上认识和自己的教学实践，笔者提出了“核心题”的概念.所谓“核心题”是指一批高质量的数学习题，它对学生学习概念、运用定理、掌握方法、取得经验等有重要影响，对提高学生的解题能力有一定的帮助，同时题不在多，又能切实减轻学生的过重负担.从历史上看，著名数学家和数学教育家波利亚和舍贵编写的《数学分析中的问题和定理》一书中的各类习题和问题堪称核心题，该书曾被誉为“至少培养了两代数学家”.1 构建技术 数学题是指数学上要求回答或解释的事情，数学题的标准形式包括两个基本的要素：条件（已知、前提），结论（未知、求解、求证、求作）.1988年第6届国际数学教育大会的报告中又提出作为“问题解决”的数学题应具有接受性、障碍性、探究性、情景性和开放性.单墫教授的《解题研究》一书不仅讲怎样解题，而且提供了一批“高质量的问题”（其实就是核心题），通过这些核心题学习解题是该书的一大特色，既帮助学生提高了解题的能力，又使学生享受到了解题的乐趣.2006年9月全美数学教师联合会为了改变美国中小学数学课程泛而不精的问题公布了《数学课程焦点》文件，该文件强调打好基础的“核心结构”，“核心结构”是组织教学内容、建立内容联系的强有力纽带.人民教育出版社中学数学研究室主任章建跃博士主持的课题“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计”在全国范围内产生了巨大影响，该课题对中学阶段的数学概念、思想方法进行了梳理，析出中学阶段的数学核心概念和思想方法，并对它们的逻辑关系进行了研究，其研究的思路和方法是可供我们在研究“如何确定、构建核心题”时进行类比和借鉴. 1.1 构建的预期目标 通过研究与实践，遴选出一批高质量的核心题并形成题库，以满足课堂教学、课后练习及单元测试所需.针对目前的题海战术，重复练习太多，学生负担很重，必须研究和改进习题教学研究的方法，贯彻少而精原则.数学核心题是战胜题海战术的有力武器，发挥核心题的导向作用，采取一题多解、一题多用、多题一法等做法，切实减轻学生的过重学习负担，使学生能享受到解题的乐趣，促进学生的个性发展，培养学生的创新能力. 1.2 构建的基本流程 （1）确定核心题的遴选范围 核心题主要选自课本的经典例题和习题，各类教辅和期刊中的优秀命题，历年全国各地的优秀中考题和竞赛题，数学史上的著名问题以及自编和改编的新题. （2）剖析核心题的特点 核心题具有新颖性，对学生来说是一个新的问题情境.核心题具有探索性，能让学生经历一个从操作实践到探索研究的过程.核心题具有综合性，能促使学生综合运用所学的知识、方法、技巧来解决问题.核心题具有变式性和开放性，能使所有的学生都可以参与，但不同的学生在解决问题过程中能展现出不同的个性和学习水平.核心题具有拓展延伸性，具有进行连续学习、不断探讨的可能性，能使学生从中得出进一步的数学知识和方法. （3）确立核心题的编制原则 核心题的编制应遵循如下原则：基础性原则，探究性原则，系统性原则，目标性原则，少而精原则和拓展性原则. （4）构建核心题的教学模式 在深入研究新课标、新教材以及相关教育教学理论的基础上，以知识点、考点、承前学习、后续学习为主要内容，进行深入的、具有创造性的研究，最后形成以每一节课的核心题为基本载体的教学模式.在构建核心题的教学内容上，要突出“两个体现”：研究与每一个知识点相关的核心题的层次性以体现认知规律和因材施教；研究与每一个知识点相关的核心题的探究性以体现承前学习、后续学习对该知识点的不同要求.在核心题的教学形式上，要突出“两个方便”：方便教师在课堂上使用和课外批改，以减轻教师负担；方便学生高效检验和巩固所学知识，力争达到既减轻了学生的学习负但，又提高了学习效率的目的. （5）形成以核心题为特色的校本作业 课内外作业是数学教学的重要组成部分，做作业是学生学好数学的重要途径.通过对“初中数学核心题的构建技术”的研究与实践，编写出一套目标明确、内容科学、形式多样、富有特色并与教材相配套的校本作业，使之成为师生教学的好帮手，从而大面积提高数学教学质量.2 案例分析 案例1 一元二次方程的根的判别式. 一元二次方程的根的判别式是初中数学中的一个重要知识点，其应用非常广泛，相关习题也非常多，但最核心的问题应是根据所给方程的特点确定方程中字母系数的取值范围. 题组 （1）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，求k的取值范围. （2）已知关于x的方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，求k的取值范围. （3）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2+=0有实数根，求k的取值范围. 分析 在用一元二次方程的根的判别式确定方程中字母系数的取值范围时学生常常忽略二次项系数不为零，设置习题（1）（3）的目的就是提醒学生能关注到二次项系数不为零.习题（2）（4）同习题（1）（3）比较后发现少了“一元二次”字样，其他条件相同，学生解题时往往认为此时二次项系数也必须不为零，而事实上此时二次项系数可以为零，所以应就二次项系数为零和不为零两种情况分别进行讨论.在确定方程中字母系数的取值范围还应考虑其他条件（包括隐含条件），设置习题（3）（4）的目的在于提醒学生还应关注到被开方数为非负数这个较隐蔽的条件，设置这两个习题有利于培养学生思维的严密性.单一的习题功能较少，在构建核心题时应多采用题组形式，各小题之间要有联系，但又有所不同，通过比较它们的异同点来揭示解题的规律和方法以及应注意的问题等. 案例2 平行四边形的性质. 教材习题 如图1，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的直线交AB于点E，交CD于点F.求证：OE=OF. 分析 教材配备的习题难度一般不大，有的是为了巩固基础知识，有的是为了形成技能技巧，教师可根据学生的具体情况灵活选用.但有的习题看似简单，却蕴涵着丰富的思想方法，具有变式和拓展功能，像这种习题就可以选作核心题.本题作为教材习题其目的是让学生巩固利用平行四边形的性质来证明线段相等，这类问题一般通过寻找适当的全等三角形来解决.如果让经过点O的直线“动起来”就可以引申出很多的结论（如变式1─3），这些结论尽管不同，但解决问题的方法却基本相同，都可以通过寻找适当的全等三角形来解决，而且这些结论正反映了平行四边形的根本性质──平行四边形是中心对称图形.在学习后续内容《平行四边形的判定》时仍然可以使用这个题组，只须把求证的问题改为判定相应的四边形是平行四边形.通过这种“一题多变”，“一题多用”，“多题一法”不仅可以减轻学生的学习负担，而且学习的效果也很不错，真正达到了“减负提质”的目的. 案例3 2014年衢州市中考数学试题第23题. 提出问题： （1）如图5，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH； 类比探究： （2）如图6，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由； 综合运用： （3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图7所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积. 分析 本题采用的“提出问题→类比探究→综合运用”的题组形式是目前中考命题中很流行的一种命题方式，这种试题既能考察相关的基础知识和基本技能，又能考察学生的探究能力以及综合应用所学知识解决问题的能力.第（1）题起点低而且源自于课本习题，大多数考生都能完成，第（2）题是第（1）题的变式，难度有所提高，不像第（1）题那样可以直接找到全等三角形来证明线段相等，而是需要构造全等三角形来证明或者利用平移将其转化为第（1）题的情形来解决，第（3）题难度很大，不仅要借助第（2）题的结论和方法，而且要求考生由寻找全等三角形过渡到寻找相似三角形（△AHF∽△CGE和△OHF∽△OGE），从而找到解题的方法.这种试题层次分明，区分度很好，探究性强，是一道很理想的核心题.3 回顾与思考 很多教师在大学时代都有过做吉米多维奇《数学分析习题集》的经历，该书中的习题其实就是学习《数学分析》课程的核心题，该书至今仍对《数学分析》的教学发挥重要影响.但在初中数学方面似乎缺少这种习题集，即便有也难以发挥持久的影响力，其原因可能是教材改革和中考改革太快，有些习题由于内容陈旧或者不符合课改精神而被淘汰.作为一个数学教师在备课、辅导、命题时总是通过各种渠道去寻找“好的题目”，这些“好的题目”就是他们心目的核心题，由此可见，核心题的标准对每一位教师来说是不一样的，它不可避免地要受到教师个人的经验、喜好和专业知识水平的影响.因此，在构建核心题时需要教师认真学习新课程标准和把握中考命题的方向.对一些传统的好习题，可以按照新课程标准的要求对它进行改编，比如，近年各地中考命题的一个新动向就是对某些好的竞赛试题进行改编和再加工使之成为具有良好区分度和选拔功能的中考“拉分试题”.核心题重在质量而不在于数量，题目要精彩深刻，要有利于学生理解概念，掌握方法，形成能力.在使用核心题时，要启发学生从多角度去思考，提倡一题多解，一题多变，真正做到把题目“嚼烂吃透”，做一题，会一类，懂一片，只要这样才能使学生的思维水平和学习能力得到迅速提升. 案例2 平行四边形的性质. 教材习题 如图1，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的直线交AB于点E，交CD于点F.求证：OE=OF. 分析 教材配备的习题难度一般不大，有的是为了巩固基础知识，有的是为了形成技能技巧，教师可根据学生的具体情况灵活选用.但有的习题看似简单，却蕴涵着丰富的思想方法，具有变式和拓展功能，像这种习题就可以选作核心题.本题作为教材习题其目的是让学生巩固利用平行四边形的性质来证明线段相等，这类问题一般通过寻找适当的全等三角形来解决.如果让经过点O的直线“动起来”就可以引申出很多的结论（如变式1─3），这些结论尽管不同，但解决问题的方法却基本相同，都可以通过寻找适当的全等三角形来解决，而且这些结论正反映了平行四边形的根本性质──平行四边形是中心对称图形.在学习后续内容《平行四边形的判定》时仍然可以使用这个题组，只须把求证的问题改为判定相应的四边形是平行四边形.通过这种“一题多变”，“一题多用”，“多题一法”不仅可以减轻学生的学习负担，而且学习的效果也很不错，真正达到了“减负提质”的目的. 案例3 2014年衢州市中考数学试题第23题. 提出问题： （1）如图5，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH； 类比探究： （2）如图6，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由； 综合运用： （3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图7所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积. 分析 本题采用的“提出问题→类比探究→综合运用”的题组形式是目前中考命题中很流行的一种命题方式，这种试题既能考察相关的基础知识和基本技能，又能考察学生的探究能力以及综合应用所学知识解决问题的能力.第（1）题起点低而且源自于课本习题，大多数考生都能完成，第（2）题是第（1）题的变式，难度有所提高，不像第（1）题那样可以直接找到全等三角形来证明线段相等，而是需要构造全等三角形来证明或者利用平移将其转化为第（1）题的情形来解决，第（3）题难度很大，不仅要借助第（2）题的结论和方法，而且要求考生由寻找全等三角形过渡到寻找相似三角形（△AHF∽△CGE和△OHF∽△OGE），从而找到解题的方法.这种试题层次分明，区分度很好，探究性强，是一道很理想的核心题.3 回顾与思考 很多教师在大学时代都有过做吉米多维奇《数学分析习题集》的经历，该书中的习题其实就是学习《数学分析》课程的核心题，该书至今仍对《数学分析》的教学发挥重要影响.但在初中数学方面似乎缺少这种习题集，即便有也难以发挥持久的影响力，其原因可能是教材改革和中考改革太快，有些习题由于内容陈旧或者不符合课改精神而被淘汰.作为一个数学教师在备课、辅导、命题时总是通过各种渠道去寻找“好的题目”，这些“好的题目”就是他们心目的核心题，由此可见，核心题的标准对每一位教师来说是不一样的，它不可避免地要受到教师个人的经验、喜好和专业知识水平的影响.因此，在构建核心题时需要教师认真学习新课程标准和把握中考命题的方向.对一些传统的好习题，可以按照新课程标准的要求对它进行改编，比如，近年各地中考命题的一个新动向就是对某些好的竞赛试题进行改编和再加工使之成为具有良好区分度和选拔功能的中考“拉分试题”.核心题重在质量而不在于数量，题目要精彩深刻，要有利于学生理解概念，掌握方法，形成能力.在使用核心题时，要启发学生从多角度去思考，提倡一题多解，一题多变，真正做到把题目“嚼烂吃透”，做一题，会一类，懂一片，只要这样才能使学生的思维水平和学习能力得到迅速提升. 案例2 平行四边形的性质. 教材习题 如图1，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的直线交AB于点E，交CD于点F.求证：OE=OF. 分析 教材配备的习题难度一般不大，有的是为了巩固基础知识，有的是为了形成技能技巧，教师可根据学生的具体情况灵活选用.但有的习题看似简单，却蕴涵着丰富的思想方法，具有变式和拓展功能，像这种习题就可以选作核心题.本题作为教材习题其目的是让学生巩固利用平行四边形的性质来证明线段相等，这类问题一般通过寻找适当的全等三角形来解决.如果让经过点O的直线“动起来”就可以引申出很多的结论（如变式1─3），这些结论尽管不同，但解决问题的方法却基本相同，都可以通过寻找适当的全等三角形来解决，而且这些结论正反映了平行四边形的根本性质──平行四边形是中心对称图形.在学习后续内容《平行四边形的判定》时仍然可以使用这个题组，只须把求证的问题改为判定相应的四边形是平行四边形.通过这种“一题多变”，“一题多用”，“多题一法”不仅可以减轻学生的学习负担，而且学习的效果也很不错，真正达到了“减负提质”的目的. 案例3 2014年衢州市中考数学试题第23题. 提出问题： （1）如图5，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH； 类比探究： （2）如图6，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由； 综合运用： （3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图7所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积. 分析 本题采用的“提出问题→类比探究→综合运用”的题组形式是目前中考命题中很流行的一种命题方式，这种试题既能考察相关的基础知识和基本技能，又能考察学生的探究能力以及综合应用所学知识解决问题的能力.第（1）题起点低而且源自于课本习题，大多数考生都能完成，第（2）题是第（1）题的变式，难度有所提高，不像第（1）题那样可以直接找到全等三角形来证明线段相等，而是需要构造全等三角形来证明或者利用平移将其转化为第（1）题的情形来解决，第（3）题难度很大，不仅要借助第（2）题的结论和方法，而且要求考生由寻找全等三角形过渡到寻找相似三角形（△AHF∽△CGE和△OHF∽△OGE），从而找到解题的方法.这种试题层次分明，区分度很好，探究性强，是一道很理想的核心题.3 回顾与思考 很多教师在大学时代都有过做吉米多维奇《数学分析习题集》的经历，该书中的习题其实就是学习《数学分析》课程的核心题，该书至今仍对《数学分析》的教学发挥重要影响.但在初中数学方面似乎缺少这种习题集，即便有也难以发挥持久的影响力，其原因可能是教材改革和中考改革太快，有些习题由于内容陈旧或者不符合课改精神而被淘汰.作为一个数学教师在备课、辅导、命题时总是通过各种渠道去寻找“好的题目”，这些“好的题目”就是他们心目的核心题，由此可见，核心题的标准对每一位教师来说是不一样的，它不可避免地要受到教师个人的经验、喜好和专业知识水平的影响.因此，在构建核心题时需要教师认真学习新课程标准和把握中考命题的方向.对一些传统的好习题，可以按照新课程标准的要求对它进行改编，比如，近年各地中考命题的一个新动向就是对某些好的竞赛试题进行改编和再加工使之成为具有良好区分度和选拔功能的中考“拉分试题”.核心题重在质量而不在于数量，题目要精彩深刻，要有利于学生理解概念，掌握方法，形成能力.在使用核心题时，要启发学生从多角度去思考，提倡一题多解，一题多变，真正做到把题目“嚼烂吃透”，做一题，会一类，懂一片，只要这样才能使学生的思维水平和学习能力得到迅速提升. |
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