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新旧人教A版“复数”比较分析

范文

夏静高明

【摘要】随着新人教A版的颁布和逐步使用，在《普通高中数学课程标准（2017年版）》的要求逐步施行的过程中，一线教师需要对新教材进行深入理解.教材对比分析有助于教师对新教材的理解.从知识点的角度对比分析“复数”部分内容，在内容上增加了对复数几何意义的考查，增加了对复数范围内的解方程问题，突出了复数的价值.复数概念的产生、复数的几何意义和复数的三角表示是进行数学文化和数学史渗透的一线材料.

【关键词】教材對比;复数

《普通高中数学课程标准（2017年版）》进一步明确了普通高中教育的定位，优化了课程结构，更新了教学内容，研制了学业质量标准.《普通高中数学课程标准（2017年版）》对课程内容进行了调整：算法初步、线性规划、生活中的优化问题举例、几何概型等内容被删除;增加了复数的三角表示、数学归纳法等内容.相关内容的排布和位置也有一定的变化.面对新的教材，面对教学内容和教学要求的变化，对新旧人教A版教材内容的比较分析有助于一线教师对课程标准的理解及对课堂教学的把握.

数系的扩充体现了数学的发现和创造的过程，是人类社会的结晶，同时体现了数学发生、发展的客观需求.对复数的学习有利于学生整体把握数系的扩充过程，有利于学生体会社会生产生活实际需求与数学内部的矛盾与统一，有利于学生感受数学的应用价值.对新旧人教A版“复数”部分进行比较分析，以期帮助一线教师更好了解新教材并适应新教材.

新旧人教A版“复数”章节：

旧人教A版

选修2-2（理）选修1-2（文）第三章

3.1 数系的扩充和复数的概念

3.1.1 数系的扩充和复数的概念

3.1.2 复数的几何意义

3.2 复数代数形式的四则运算

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

3.2.2 复数代数形式的乘、除运算

新人教A版

必修第二册第七章

7.1 复数的概念

7.1.1 数系的扩充和复数的概念

7.1.2 复数的几何意义

7.2 复数的四则运算

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

7.2.2 复数的乘、除运算

7.3 复数的三角表示（选学）

7.3.1 复数的三角表示式

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

一、位置比较

数学知识具有内在的逻辑关系，数学知识的学习顺序影响着学生的学习.因此，教学顺序必须遵循学生的认知发展规律.比如，在初中阶段学习“对应说”观点下的函数概念，是建立在集合的知识下，采用自然语言进行描述.进入高中后引入了“变量说”的函数概念，是在集合和映射的知识前提下，对函数概念的进一步认识.

新人教A版教材中复数的位置与旧人教A版教材相比有了一定的调整.内容顺序排布上考虑到数学知识的内在逻辑，复数的几何意义需要用到向量知识，新教材将“复数”放置“平面向量及其运用”之后，更加凸显数学内部联系.比如，利用复数求解两点的距离，一方面，体现了复数解决问题的价值;另一方面，与后续知识点“两点间的距离公式”产生联系.

二、内容比较

新旧人教A版“复数”知识点比较如下表：

新旧教材关于必学部分的复数内容都安排了4个课时，两套教材对于教学内容、内容的组织顺序、习题、拓展等方面有不同的编排.两个版本含有的知识点基本一致，新人教A版增加了“复数的三角表示”作为选学部分.知识点虽然都基本相同，但其叙述的方式有一定的差异.

1.复数的引入

新人教A版教材中明确提出，一元二次方程无解的实质是判别式小于零.从一般形式的一元二次方程无解的问题中提炼出x2+a=0（a>0）无解，再归结到x2+1=0无解.体现了一般到特殊的数学思想，彰显一元二次方程无解的本质.

2.共轭复数

两个版本的教材都提出了共轭复数，但出现的位置不同.新人教A版中共轭复数出现在“复数的几何意义”部分，旧人教A版出现在“复数代数形式的乘除运算”部分.两个版本都是从例题中总结得出共轭复数的概念，并提出共轭复数在复平面对应点的关系的思考题.旧人教A版在此基础上进一步提出共轭复数相乘的结果是怎样一个数的问题，新人教A版则在“复数的乘、除运算”部分以“旁白”的形式提出两共轭复数相乘的问题.

3.复数的模

新人教A版教材在正文部分提出了复数的模长公式，并在例题和习题中加以练习.旧人教A版教材只在“旁白”资料卡片中提出复数的模长公式，没有相关例题和习题.

4.复数的代数形式

新人教A版教材将复数定义为“形如a+bi的数”，没有提出复数的代数形式，在选学内容“复数的三角形式”中提出了a+bi是复数的代数形式.旧人教A版教材明确提出z=a+bi叫作复数的代数形式.

5.复数的三角形式

复数代数形式的加减运算就是相应平面向量的加减运算;复数乘除运算的几何意义是借助复数三角形式的探究而得到的平面向量的旋转、伸缩变化.新人教A版教材将复数的三角形式作为选学部分，不做考试的要求，为学有余力的学生提供了知识拓展的途径，也希望“不做考试要求”的选学部分能在培养学生数学素养的道路上发挥一定的作用.

三、例题、习题比较

旧人教A版教材将习题分为A，B两个部分，习题难度具有梯度.新人教A版将习题分为复习巩固、综合运用、拓广探索三个部分，大部分的练习还是沿用旧人教A版教材的练习内容，题目的顺序做了一定的调整，结合教材内容增加了部分题目对应的练习.

1.复数模长的新增

“复数的几何意义”部分增加了有关复数模长的例题和习题.题1-3：“复数的加、减运算”中增加利用复数减法运算和复数模长求两点之间的距离.题4：新人教A版教材复数在两点间的距离公式之前学习，旧人教A版教材复数在两点间的距离公式之后学习.

题1（例2，新人教A版教材第71页）：设复数z1=4+3i，z2=4-3i.

（1）在复平面内画出复数z1，z2对應的点和向量;

（2）求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小.

题2（例3，新人教A版教材第72页）：设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）|z|=1;

（2）1<|z|<2.

题3（练习，新人教A版教材第73页）：已知复数2+i，-2+4i，-2i，4，32-4i，

（1）在复平面内画出这些复数对应的向量;

（2）求这些复数的模.

题4（例2，新人教A版教材第77页）：根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）之间的距离.

2.复数范围内解方程题型的新增

与旧人教A版教材相比，新人教A版教材在“复数的乘、除运算”部分增加复数范围内解方程的例题，并在练习和习题部分均有相关练习.题5：复数的扩充和引入是为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，新人教A版教材增加了复数范围内解方程的例题和习题，与复数的扩充与引入部分相呼应.

题5（例6，新人教A版教材第79页）：在复数范围内解下列方程：

（1）x2+2=0;

（2）ax2+bx+c=0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ=b2-4ac<0.

四、知识拓展阅读

1.复数的扩充和引入的历史背景

自然数来源于对数量的刻画，分数源于对平均分的刻画，无理数源于对长度的刻画，而复数在实际生活中找不到实际的背景.因此，在复数教学中，教师首先必须向学生阐述清楚“为什么要引入复数”.复数产生的历史并不是教材中介绍的（因为一元二次方程在实数集中无解，所以要对数集进行扩充），而是在解一元三次方程问题时出现了认识上的矛盾，利用“卡当公式”讨论和为10，乘积为40的两数问题时，出现了（5+-15）×（5--15）=40这个矛盾.两个版本的教材都在章前提到了复数产生的历史.

两个版本都以资料卡片的形式介绍复平面、复数与复平面内点一一对应的几何意义、复数与复平面中向量一一对应的几何意义、创建过程中的数学名人，以及直观的几何表示对复数探究的价值.

2.代数基本定理

两个版本的教材都在章末部分呈现了代数基本定理，代数基本定理为学生提供了理解“复数是存在”的一个依据.对于一元二次方程根与系数的关系，也就是韦达定理，是学生熟悉并且常用的.代数基本定理使学生关于一元二次方程根与系数关系的认知进一步得到提高.

结语

在内容上增加了对复数几何意义的考查，并增加了对复数范围内的解方程问题，突出了复数的价值.复数概念的产生、复数的几何意义和复数的三角表示是渗透数学文化和数学史的一线材料.《普通高中数学课程标准（2017年版）》中明确提出要将数学文化渗透在日常教学中，但并不是所有的数学课堂都适合进行数学文化的渗透.复数这章节的内容对于数学文化渗透来说是一个很好的融入平台.在数学文化渗透思想下对复数及教学内容进行设计，是探索复数教学的一个角度.无论是一线教师发表的期刊还是本科、硕士论文，对以数学文化或者是数学史作为指导方向的复数教学都进行了一定的探究.随着新教材的使用，对于复数课程的研究应该体现课程标准中的思想，紧跟时代的步伐.特别是作为选学部分的“复数的三角表示”内容，其教学还需要更进一步的探索.在新课程标准的指导下，教师探索复数教学模式，为学生提供培养和发展数学核心素养的机会.

【参考文献】

[1]沈源钦.新旧教材“复数”内容编排的比较研究[J].数学教学通讯：中等教育，2013（02）：2-4.

[2]赵瑶瑶.复数的历史与教学[D].上海：华东师范大学，2007.

[3]张小明，汪晓勤.复数概念的HPM教学案例[J].中学数学教学参考，2007（11）：4-7.

[4]封志红.基于数学史的探究性学习案例：“数系的扩充”教学设计[J].高中数学教与学，2020（02）：32-33，45.

[5]张彬.APOS理论下的“数系的扩充与复数的引入”教学研究[D].扬州：扬州大学，2019.

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