标题 | 素数递进筛及初步应用 |
范文 | 李炳贤 李娜 陈龙泉
【摘要】应用自然数组的周期性,导出素数递进筛,利用递进筛的性质,证明了哥德巴赫猜想的成立,同時取得了偶数用两素数和表示的组数计算式. 【关键词】素数分布;素数递进筛;哥德巴赫猜想 【主题索引号】MR(2000) 11N05 素数一直是数论中最有趣、最吸引人的研究课题,素数除了它的定义之外,我们还知道的性质就是算术基本定理,而且它的性质都是从基本定理中推导出来的.为研究素数,建立了非常有效的Eratosthenes筛法,并且开展了多方面的探索.这些成果为了解素数分布奠定了基础.而关于素数许多有趣的问题,看起来很简单,很容易解决,但大多数是至今仍未解决的数学难题. 本文在建立有客观内在规律的素数筛—素数递进筛的基础上,利用这种筛与素数性质的关联性,对素数分布的有关问题进行了探讨,应用初等数论研究的方法和结果,解决了素数孪生数、素数间距的无限性问题,并完成了对哥德巴赫猜想的证明. 一、素数递进筛的建立 1.自然数阵的周期性 数论中对于除1以外的自然数,都会讨论其是素数还是合数.因此,在建立素数递进筛时,就对自2起的自然数进行研究. 自2开始对自然数进行竖排,并依次记下,组成如A这样的数阵,在这样的排列中很容易发现某些行中的数存在相同的因数.如第1,3和5行中都有因数2,而第2和5行中都有因数3.在做素数筛法的时候,可以用数的有序排列筛去合数,而不用去对每个数进行计算,从而提高筛合数的效率. 同时,从A数阵的排列中也可观察到,如果对A以后的自然数进行记录,可以用A中的数加上30得到另一个方阵,如B数阵.如此不断拓展可以得到之后的所有的自然数的记录.可见这样的数阵具有周期性.为便于讨论,将A这样的数阵推广到一般形式: An数阵中pi是第i个素数.这个数阵的周期是 ∏n1 pi .数阵中的全体数的总称为数组. 2.素数递进筛的导出 在An中,分别取n=1,2,3,…,则相应地Pn=2,3,5,…,可得到如下对应的An数阵: 去除P1=2的因数 去除P2=3的因数 从C2中可以发现:在这样的数组中,就是将A2数组中含(P1=)2的因数去除后的结果,这样就筛去了含2的所有因数.从C3中可以发现:这个数组是将A3中(P1=)2,(P2=)3的因数筛去后的结果,相当于在C2中又筛去(P2=)3后的结果.以此类推,可以得到Cn的一般式: 由此将Cn 定义为素数递进筛. 由素数递进筛的形成可知,Cn的行数为∏n-11 (pi-1 ),列数为Pn.筛中总数为Mn=Pn·∏n-11 (pi-1 ).应该注意的是Cn中除了第一及最后一个横列的数可以确定外,其他横列的数要通过逐级递进筛后才能得到,不可以跳级获得. 根据带余数除法的定理2及推论3可知,在Cn的每一个横列中有一个且只有一个含Pn(包括自身)的因数. 如第一横列或首数是Pn倍数的横列中,其首数就是能被Pn整除的数.而其他数不能被Pn整除,即一个横列中只有一个含Pn的因数. 在其他横列中,其首数不能被Pn整除,它必然有余数±1,±2,…,±(Pn-1)/2中的一个,而K∏n-11pi (K=1,2,…,n-1)被Pn除也有对应[±1,±2,…,±(Pn-1)/2中]的一个余数值.这两个余数和为零的数即能被Pn整除的数,且在一个横列中只有一个这样的数. 总之,在递进筛中对Pn进行筛操作,因为每一横列的数有Pn个,筛出了一个,留下Pn-1个.对总体筛来说,一共有∏n-11 (pi- 1)行,所以在Cn中对Pn进行筛操作后,余下的数为M(n)=(Pn-1)∏n-11(pi- 1)=∏n1(pi- 1),这也是更高级筛的首列数. 3.素数递进筛的基本性质 性质1:每个级别的递进筛筛出其中最小素数及其合数后,每一个横列仅能筛出(去)一个数,留下Pn-1个数. 递进筛形成的过程中,之前的每次筛操作已经将小于Pn的素数及因数全部筛去,因此,筛中的数都是不小于Pn的素数或是含不小于Pn的因数的合数.而做筛操作时,必将筛出Pn;筛去含Pn的全部合数,这些合数是Pn与不小于Pn数的乘积值,在筛内满足不小于Pn的另一个因数m是Pn≤m<1+∏n-11 pi ,共∏n-11 (pi- 1)-1个数,这是筛掉的个数,再加上一个筛出的Pn,全部筛出(去)的数为∏n-11 (pi-1)个数.由此得到: 性质2:筛中含Pn因数的合数是与第一列各数(除最末位的数)的乘积值.这也是用乘法筛合数的算法. 二、素数递进筛在哥德巴赫猜想证明中的应用 关于哥德巴赫猜想的证明已经进行了多种方法多种途径的探索,但还是没有最终给出很好的证明.作为递进筛的应用对猜想给出如下证明. 1.偶数用大于1的两个自然数的和表示的组数计算式 大于1的自然数为2,3,4,…,n+1,…这样的数列.设偶数为D,则: D=(n+1)+(n+1)=n+(n+2)=(n-1)+(n+3)=…=(1+1)+(2n) 两个数和的组数共为n组,而D=2+2n,所以,n=D/2-1,这是一个偶数用两个大于1的自然数的和表示的组数,我们将它定义为N0.则N0=D/2-1,且D≥4=P12. 2.偶数用两个奇数和表示的组数计算式 将C1延伸,它的全体数就是大于1的自然数,则可以得到这样的数组: X:2,4,6,8,10,…,2n,… Y:3,5,7,9,11,…,2n+1,… 当这个数组中,去除了含因数2的数列X行后,这个数组就只剩下奇数系列Y这一半的数,相应地,对构成D的数N0也只剩了一半,则用两个奇数和表示偶数的组数为: N1=N0/2=(D/2-1)/2=D/4-1/2(N取整,下同),显然,这时D≥6=P12+ P1. 3.筛去P2=3后的奇数和的组数计算式 将C2延伸,则可以得到这样的数组: O:3,9,15,21,27,…,6n-3,… A:5,11,17,23,29,…,6m-1,… B:7,13,19,25,31,…,6r+1,… 在数组OAB中,第一行O数列的通式为an=6n-3,第二行A数列的通式为am=6m-1,第三行B数列的通式为ar=6r+1. (1)当D=6K时(3的倍数) ∵an+ am=6(n+m)-4≠D,an+ ar=6(n+r)-2≠D, ∴组成偶数两数和的数组A,B不会因为去除O行而跟着去除,即在数组OAB中只去除了第一行O,保留了第二行A,B,即去除了数组的1/P2=1/3个数,相应地N1就减少了1/3. N2=[(3-1)/3]N1=(2/3)N1 (2)当D=6K-2时(非3的倍数) ∵an+ am=6(n+m)-4=6(n+m-1)+2≠D, ∴组成偶数两数和的数组A因为去除O行而跟着去除,即在数组OAB中去除了第一、第二行,保留了一行B,即去除了数组的2/P2=2/3个数,相应地N1就减少了2/3. N2=[(3-2)/3]N1=(1/3)N1 (3)当D=6K+2时(非3的倍数) ∵an+ ar=6(n+r)-2≠D, ∴组成偶数两数和的数组B因为去除O行而跟着去除,即在数组OAB中去除了第一、第三行,保留了一行A,即去除了数组的2/P2=2/3个数,相应地N1就减少了2/3. N2=[(3-2)/3]N1=(1/3)N1 综上所述,筛去P2的奇数和的组数计算式 N2=(2/3)N1=[(P2-1)/P2]N1(D为3的倍数) N2=(1/3)N1 =[(P2-2)/P2] N1(D不为3的倍数, D≥12=P22+ P2) 4.偶数用两个奇数和来表示的组数的一般计算式 用与筛去P2=3后的奇数和的組数计算式相同的方法,可以逐个对Pn 进行分析,并得到计算式,在Cn+1中: Nn=[(Pn-1)/Pn]Nn-1(D=KPn) Nn=[(Pn-2)/Pn]Nn-1(D≠KPn) 用上述计算式递推可以得到一般计算式: Nn=(D/4-1/2)∏(1-1/ pi)∏(1-2/ pj)(2≤i,j≤n)(D≥P2n+ Pn)(D=K pi)(D≠K pj)(1) 特别地, Nn=(D/4-1/2)∏n2(1-1/ pi)(D=∏n1 pi)(2) Nn=(D/4-1/2)∏n2(1-2/ pi)(D≠K pi)(如D=2k )(3) 计算公式(1)中,对于每个偶数的奇数组做出了比较精确的计算,但对总趋势的分析不直观.为了进一步方便分析总趋势,又不失严肃性,用取值最小的计算公式(3)来分析偶数的奇数和的组数的变化规律. (1)在Cn+1中,当D≥P2n+ Pn 时,用Nn=(D/4-1/2)∏n2(1-2/ pi)来表示D的取值,而不考虑D是否有pi因数,其取值为最小可能的值.式中∏n2(1-2/ pi)是一个确定的值,而(N1=)D/4-1/2是D的单调增函数,所以Nn也是D的单调增函数. (2)在Cn+1中,当D=P2n+ Pn 时,Nn=[(P2n+ Pn)/4-1/2]*∏n2(1-2/ pi).在Cn中,当D=Pn-12+ Pn-1 时,Nn-1=[(Pn-12+ Pn-1)/4-1/2]* ∏n-12(1-2/ pi).我们来比较一下这两个值的大小: Nn / Nn-1=[(P2n+ Pn-2)/(Pn-12+ Pn-1-2)](1-2/ Pn) >[(P2n+ Pn)/(Pn-12+ Pn-1)](1-2/ Pn) ≥(P2n+ Pn)/[(Pn-2)2+(Pn-2)]*[(Pn -2)/ Pn] =(Pn+1 )/[(Pn-2)+1]>1 因此,Nn >Nn-1. (3)在Cn中,当D=P2n+ Pn-2时,Nn-1=[(P2n+ Pn-2)/2-1]/2* ∏n2-1(1-2/ pi), 在Cn+1中,当D=P2n+ Pn 时,Nn=[(P2n+ Pn)/2-1]/2* ∏n2(1-2/ pi).比较一下这两个值的大小: Nn-1 / Nn=[(P2n+ Pn-2-2)/(P2n+ Pn-2)][ Pn / (Pn -2)] >[(P2n+ Pn-2)/(P2n+ Pn)][ Pn / (Pn -2)]>[(P2n+ Pn)/(P2n+ Pn)](Pn / Pn )=1 因此,Nn-1>Nn. 综上所述,如考虑N值不重复取值,它是一个分段定义的函数.每段的尾值大于始值;后段始值大于前段始值,而小于前段尾值.形成锯齿状不断向上的折线.而N的起始值为1. 5.证明 由N计算公式知,它的起始值为1,随偶数的增加而分段逐步递加.现在只要证明:在D各分段定义的范围内,构成它们的两个奇数都是在对应的递进筛中的素数,即证明哥德巴赫猜想成立.下面用数学归法来证明.以下由素数构成的奇数组的个数(简称素数组)用G来表示. 在22+2=6≤D<12=32+3区间,由C2中的对应数来组成奇数组,它们的个数由N1=N0/2=(D/2-1)/2确定,实际的组成为6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,全是C2中的素数,筛中的因数9小于最大的D=10,但筛内的最小数是3,所以,用不到9来构成区间内的偶数.这时,G6=(6/2-1)/2=1,G8=(8/2-1)/2=1,G10=(10/2-1)/2=2(计算结果取整数),与实际相符. 对于C2,在D的定义范围内,构成它们的两个奇数都是在对应的递进筛中的素数. 现在,设在Cn中,当Pn-12+ Pn-1≤D< P2n+ Pn时, G=Nn-1=(D/4-1/2)·∏(1-1/ pi)∏(1-2/ pj)(2≤i,j≤n-1) (D=K pi)(D≠K pj) 所对应的奇数组中的奇数全部是奇素数成立. 这时Cn中,在(Pn-12+ Pn-1,Pn+12+ Pn+1)存在P2n,PnPn+1等含Pn因数的合数,而这些因数不对Pn-12+ Pn-1≤D< P2n+ Pn组成的素数组产生影响,但对P2n+ Pn≤D< Pn+12+ Pn+1的奇数组中的纯素数性产生影响.因此,就要对Cn进行筛Pn的操作,得到Cn+1,在Cn+1中,就筛去了P2n,PnPn+1等含Pn因数的合数,这个D区间内的奇数组的计算结果为: Nn=Nn-1·(1-1/ Pn)?? (D=K pi) 或者Nn=Nn-1·(1-2/ Pn)?? (D≠K pj) 而边界的Pn+12+ Pn+1不在D的區间内,Pn+12的因数不对D区间内的奇数组中的纯素数性产生影响. 所以,在Cn+1中,当P2n+ Pn≤D< Pn+12+ Pn+1时, G=Nn=(D/4-1/2)·∏(1-1/ pi)∏(1-2/ pj)(2≤i,j≤n) (D=K pi)(D≠K pj)(4) 所对应的奇数组中的奇数也全部是奇素数.至此,哥德巴赫猜想得到证明. 应注意到,上式给出了在递进筛内精确计算偶数用两个素数和表示的组数计算式. 三、结 论 1.素数递进筛在筛合数时不会出现重复计算,效率高,为找大素数提供了便利.素数递进筛与有关素数问题可以建立一定的关联,为解决相关素数分布问题提供了可选的工具.素数递进筛的大小是由客观决定的,也可以称它为自然筛. 2.素数递进筛做筛操作时,筛去(出)筛中最小素数合数(包括自身)的个数等于筛中全体数被该素数除的商. 3.哥德巴赫猜想成立,并且偶数用两个素数和来表示的组数在一定的精度内可用公式计算. 【参考文献】 [1]潘承洞,潘承彪.初等数论(第二版)[M].北京:北京大学出版社,2006. [2]宋东红,郭占祥,郭鸿鹤.筛法与素数及孪生素数[J].数学学习与研究.2016(15):133. [3]杨胡生.素数分布规律及其特性[J].数学学习与研究.2019(10):123-124. [4]魏一凡.等距素数对初探[J].数学学习与研究.2017(05):147-149. [5]李云祥.孪生质数猜想的研究新途径[J].数学学习与研究.2017(13):145-150. [6]赵双成.试证大于4的偶数均可表为两个奇素数之和[J].数学学习与研究.2015(13):133-138. [7]程浩.对哥德巴赫猜想的论证[J].数学学习与研究.2019(15):150. |
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