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标题 基于浸入边界法和编程的圆柱绕流的数值模拟
范文 牛朝
摘要：浸入边界法是在非结构网格下对N-S方程进行求解。本文使用浸入边界法和有限差分法，运用C++编程实现对静止圆柱绕流的模拟，在不同雷諾数下求解不可压缩N-S方程和验证投影浸入边界法的可靠性，并分析圆柱周围速度场、压力场和涡结构的分布情况。同时，得到了最优的网格划分范围。
Abstract： In immersed boundary method （IBM）， N-S equations are solved with unstructured grid. In this article， we used IBM and the finite difference method， used C++ codes to simulate the flow over a static cylinder， to solve incompressible N-S equation and verify the reliability of projection of IB for the different Reynolds number. The distribution of velocity field， pressure field and vortex structure around circular cylinder were calculated and analyzed. At the same time， the best division of Cartesian grid is obtained.
关键词：浸入边界法;有限差分法;圆柱绕流
Key words： immersed boundary method;finite difference method;flow around a circular cylinder
中图分类号：O174.63 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）07-0155-03
0 引言
随着科技的发展和时代的进步，越来越多的水工建设和科学研究都涉及到流固耦合作用研究。流固耦合现象包含着剧烈的旋涡运动和压力变化，会增加结构体的不稳定负载，产生噪音和振动，严重的情况甚至会造成破坏和灾难，所以研究流体-结构耦合问题[1-3]变得非常重要。圆柱绕流是流固耦合研究中经典的绕流问题，在流场中结构体的研究中，圆柱绕流几乎包含了钝体绕流的所有复杂现象。在流体力学中，这类问题的研究已经成为基础研究和工程应用研究中最有意义的课题之一。
本文结合浸入边界法的思想，基于有限差分离散控制方程，主要研究以下三个方面的内容，首先，通过在不同网格尺寸划分情况下，比较流场的变化情况，验证浸入边界投影法的网格独立性;其次，计算分析圆柱绕流特性。最后对圆柱绕流的动态特性研究。
1 数值计算模型
1.1 浸入边界法的基本控制方程
对黏性不可压缩的流体，在笛卡尔坐标系下包含浸入结构的矩形区域中，流动的无量纲控制方程为：
其中：u是速度矢量，t是时间，p是压强;f表示在形状规则的固体边界上的速度场分布产生的外部体力，雷诺数定义为Re=UL/v，U、L分别为无量纲特征速度和特征长度尺度，其中v表示流体的运动粘度。
1.2 数值计算方法

本文是基于浸入边界法的模式，采用有限差分法求解流场，采用均匀交错网格，最后通过编程实现圆柱绕流流场的求解。使用曲率系数对流方案[4]处理对流项，本文中采用Quick法来做计算;时间差分项以显式Adams-Bashforth 法来离散;压力项的处理采用投影法（projection method），导出含有混合边界的压力场Poisson方程式进行离散求解。
1.3 计算模型及边界条件设置
物理模型为一矩形求解区域，使用无量纲计算，计算区域长L=20D，宽W=10D，圆柱直径D=1.0，建立直角坐标系x-y，圆柱圆心坐标（x，y）=（3D，5D），假设入口边界流体x方向速度符合抛物线分布，最大速度为1.0，y方向上速度为v=0，u=u（y）=-2/50·y2+4·y，v=0;流场上下边壁为无滑移边界，u=v=0，整个流场为均匀流场，时间步长Δt=0.001。

2 计算结果分析
2.1 浸入边界法网格独立性验证
由图1不同雷诺数下的速度场变化图可看出：Re≤50时，流场还处于对称尾流区，旋涡还没有脱落，随着雷诺数的增大，旋涡逐渐从圆柱体两侧周期性的脱落，形成规则性排列的卡门涡街。当雷诺数Re>300后，远离圆柱的区域旋涡的排列变得不再是规则的周期排列。
表1给出了圆柱绕流在三种不同网格划分下，低雷诺数Re=25，40，50时的计算结果的旋涡比较，可以看出在相同雷诺数下随着网格密度的增加，旋涡的长度L、旋涡内的最大速度U和两个对称旋涡的涡核间距d不断增加，在网格为800×400时所得结果与实验结果[5]最为接近。
2.2 圆柱绕流的特性
图2为网格划分为200×100，Re=1时的速度等值线图和流线图，由图可知圆柱两侧的流线前后上下对称，流体绕圆柱流动没有形成旋涡，仍处于层流状态，与圆柱绕流流场性质相吻合。

以下结果为网格划分800×400。如图3所示为不同雷诺数下的圆柱附近的流线图，Re>10后绕圆柱分离后的流体在圆柱后形成一对固定不动的对称旋涡并且不断被拉长，随着Re的增大，旋涡逐渐失去对称性，对称旋涡消失旋涡开始从两侧不断地轮流脱落，由Re>100时，可以看出圆柱体的下游的流场不再具有规则性，流场变得较复杂，由此得出的计算结果与圆柱绕流的流场特性相吻合。
表2为Re=25时，旋涡分离的物理参数和文献的对比，与所得结果吻合得很好，说明了该方法求解圆柱绕流流场的有效性和正确性。

3 结论
通过利用浸入边界法对单圆柱绕流进行数值模拟计算，得出如下结论：①使用浸入边界法模拟圆柱绕流，不同网格划分下所得结果都符合流场的一般性质，只是精确度不同，网格划分越密，精度越高，在格划分间距d=0.025D时能很好的满足流场求解的需求。②使用浸入边界法编程来实现圆柱绕流流场的数值模拟，所得结果与圆柱绕流的流场性质相吻合，该方法能有效、正确的模拟圆柱绕流流场。
参考文献：
[1]施耀华.桥塔绕流与流固耦合的数值模拟[D].北京交通大学，2008，06，01.
[2]周光坰，严宗毅，许世雄，等.流体力学[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3]邢景棠，周盛，崔尔杰.流固耦合力学概述[J].力学进展， 1997，27（1）：19-38.
[4]Goharian N， Jain A， Sun Q. Comparative analysis of sparse matrix algorithms for information retrieval[J]. Computer， 2003， 2： 0-4.
[5]M. Coutanceau and R. Bouard， J. Fluid Mech. 79（2）， 231 （1977）.
[6]P. M. Gresho， R. Chan， C. Upson， and R. Lee， Int. J. Numer. Methods Fluids 4， 619 （1984）.
[7]E. M. SAIKI ANDS. B IRINGEN，Numerical Simulation of a Cylinder in Uniform Flow： Application of a Virtual Boundary Method，JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS ， 1996， 123：450-465.
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[9]Takami H， Keller H B. Steady Two-dimensional Viscous Flow of an in-compressible fluid past a circular cylinder[J]. Physics of Fluids， 1969， 12（12）： II-51-II-56.
[10]姜知亨.浸入邊界法及在大涡模拟中的应用[D].清华大学.
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更新时间：2024/12/22 18:40:15