标题 | 解决分式相关问题的十五种常用策略 |
范文 | 莫芬利 刘清泉 [摘要] 解决与分式相关的问题时,常常要根据分式的具体特征灵活变形,以使问题得到迅速准确的解答.其中有很多方法具有典型性和代表性,本文就相关问题的解答梳理其中的常用策略. [关键词] 分式问题;常用策略 分式是初中数学的一个重要内容,竞赛中与分式化简、求值、证明、变形和方程等相关的试题,求解时通常技巧性很强. 笔者就近几年的热点试题,归纳其中使用频率较高的技巧和方法. ■ 分组求和 例1(2002上海)计算:■+■+…+■+…+■=________. 解析?摇 由■+■=■=2, 易知,可对所求式分组求和,易得答案为99. ■ 约分先行 例2?摇 化简: ■+■+■. 解析?摇 原式=■+■+■ =■+■+■ =1 ■ 分组通分 例3?摇 求证:■+■+■=■+■+■+■. 证明?摇 由■-■+■-■+■-■ =■+■+■=■,得证. ■ 分步通分 例4(2004希望杯)代数式=■+■+■+■,化简的结果为_________. 解析?摇 原式=■+■+■=■+■=■. ■ 分离整式 例5?摇 化简:■+■-■. 解析?摇 原式=■+■-■ =2-■+2+■-4-■=■. ■ 同取倒数 例6(2009天津)已知■=2,■=3,■=4,求7x+5y-2z的值. 解析?摇 由已知可得■=■+■=■,■=■+■=■,■=■+■=■, 则■=■,■=■,■=■,解得x=■,y=■,z=24,则7x+5y-2z=0. ■ 等比设“k” 例7(2008北京)若■=■=■=■,求■+■+■+■的值. 解析?摇 设■=■=■=■=k,则k(y+z+u)=x,k(z+u+x)=y,k(u+x+y)=z,k(x+y+z)=u. 于是3k(x+y+z+u)=x+y+z+u. 所以x+y+z+u=0或k=■. 当x+y+z+u=0时,易求所求式=-4;当k=■时,由y+z+u=3x,z+u+x=3y,u+x+y=3z,x+y+z=3u易得x=y=z=u,此时所求式=4. 点评?摇 本题亦可利用等比的性质求解,不过需要分x+y+z+u是否等于0进行讨论. ■ 裂项相消 例8(2007全国竞赛) 已知对于任意正整数n,都有a1+a2+…+an=n3,则■+■+…+■=________. 解析?摇 由a■+a■+…+an=n3及a■+a■+…+a■=(n-1)3,得a■=n3-(n-1)3=3n2-3n+1,则■=■=■■-■,则■+■+…+■=■·1-■+■-■+…+■-■=■. ■ 排序放缩 例9(2011全国竞赛)设S=■+■+■+…+■,则4S的整数部分等于________. A. 4?摇?摇?摇?摇?摇B. 5?摇?摇?摇?摇?摇 C. 6?摇?摇?摇?摇?摇D. 7?摇 解析?摇 当k=2,3,…,2011时,■<■=■■-■,得1 ■ 逆代相关 例10?摇 (2012全国联赛)已知实数a,b,c满足abc=-1,a+b+c=4,■+■+■=■,则a2+b2+c2=________. 解析由abc=-1,■+■+■=■,得■+■+■=■,则■+■+■=■. 于是■+■+■=■,所以■+■+■=■. 化简得-■=1-a-b-c+ac+bc+ca-abc,所以2ab+2bc+2ca=-■. 所以a 2+b 2+c 2=(a+b+c) 2-(2ab+2bc+2ca)=■. ■ 整体换元 例11?摇 (2014北京)求证:对任意两两不等的三个数a,b,c,■+■+■是常数. 证明?摇 设a+b-c=x①,b+c-a=y②,c+a-b=z③,①-②得a-c=■,②-③得b-a=■,③-①得c-b=■. 所以原式=■+■+■ =■ =■ =■ =■ =4. 点评?摇 本题通过对较为复杂的分子整体换元,达到了使分式形式更为简单的目的,从而易于对分式变形. ■ 整体代入 例12?摇 (2006江苏)如果■=■,那么■=_________. 解析?摇 由■=■得■=■,从而x2+■=3,所以所求式=■=4. ■ 整体求值 例13(2012全国竞赛)如果a,b,c是正数,且满足a+b+c=9,■+■+■=■,那么■+■+■的值为_________. 解析?摇 由已知可得■+■+■=10,则■+1+■+1+■+1=10,故■+■+■=7. ■ 因式分解 例14 (2009全国联赛)已知正数a,b,c满足如下两个条件:a+b+c=32,■+■+■=■. 证明:以■,■,■为三边长可构成一个直角三角形. 解析?摇 由■+■+■=■得■+■+■=■,化简得abc-128(a+b+c)+8(a 2+b 2+c 2)=0(﹡). 由(a+b+c) 2=(a 2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=32 2得a 2+b2+c2=1024-2(ab+bc+ca),代入(﹡)式,得abc-16(ab+bc+ca)-128·(a+b+c)+8192=0,所以abc-16(ab+bc+ca)+256(a+b+c)-4096=0. 对左边以a为主元分组因式分解,得a(bc-16b-16c+256)-16(bc-16b-16c+256)=0,所以(a-16)(b-16)(c-16)=0. 所以a=16或b=16或c=16. 又a+b+c=32,所以,a=b+c,b=c+a,c=a+b至少有一个成立,证毕. 点评?摇 很多与分式相关的题目,通常通过“去分母”转化为整式问题,从而利用整式的相关解题方法(特别是因式分解)加以解决. ■ 借助函数 例15?摇 a,b,c互不相等,证明:■+■+■=x 2. 解析记等式左边为f(x),显然,f(a)=a 2,f(b)=b 2,f(c)=c 2. 易知,点(a,a 2),(b,b 2),(c,c 2)都在f(x)的图象上,又都在g(x)=x 2的图象上,由不在同一直线上的三个点确定一条抛物线,可知f(x)=g(x)=x 2,证毕. 本文中,笔者结合与分式相关的初中竞赛试题,例析其中的常见类型及其解决策略,并力求将相关的策略封闭,不过,其中有些案例的解决另有它法,同时,与分式相关的其他问题,由于缺乏普遍性、代表性,此处不再赘述. |
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