| 标题 | 尴尬的循环论证 |
| 范文 | 摘 ?要：在解答2014年高考北京卷理科第18题时，容易想到用分离常数法，这样就需要求一个“型”问题的极限. 若用导数的定义求这个极限，就很容易犯循环论证的错误. 而循环论证是解题中应当杜绝的，防止循环论证的方法就是要清楚相应的知识体系. 关键词：循环论证;高考题;函数;导数;不等式;恒成立 2014年高考北京卷理科第18题？摇已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈0， ?， （1）求证：f（x）≤0; （2）若a< 官方给出的参考答案（略有改动）？摇（1）由导数公式 （sinx）′=cosx①，（cosx）′=-sinx②， 可求得f ′（x）=-xsinx≤00≤x≤ ?，所以函数f（x）是减函数. 由此，得f（x）≤f（0）=00≤x≤ ?. （2）设g（x）=sinx-ax0 题设中的a< ?对x∈0， ?恒成立，即g（x）>00 易知a≤0时成立：g（x）≥sinx>00 g′（x）=cosx-a0 当a≥1时，g′（x）<00 当000 所以a的取值范围为-∞， ?，得a的最大值是 ?. 设h（x）=sinx-bx0 题设中的 易知b≤0时不成立：h（x）≥sinx>00 h′（x）=cosx-b0 当b≥1时成立：h′（x）<00 当0g（0）=0，这与题设矛盾！ 所以b的取值范围[1，+∞），得b的最小值是1. （笔者认为此题的背景是约当不等式：若0 笔者对第（2）问解答的注记 1）以上对第（2）问的解答没用到第（1）问的结论，这似乎不合常理.可这样求解第（2）问： 设g（x）= ?0 a的最大值是g ?= ?，b的最小值是 ? ?. 下面求 ? ?（此解法源于权威的高校教材第86页例2）. 如图1， ?是以点O为圆心、半径为1的圆弧. 过点A作 ?的切线与射线OB交于点C，作BD⊥OA于D. 图1 设∠DOB=x（rad）0 2S△AOB<2S扇形AOB<2S△AOC， sinx cosx< ?<1， 1= ?cosx≤ ? ?≤1， =1， 所以a的最大值是 ?，b的最小值是1. 可以用导数的定义求以上极限吗？ = ? ?=（sinx）′ ?=cosx ?=cos0=1③， 所以 ? ?=1. 实际上，这是不对的！因为犯了循环论证的错误！ 在③中运用了导数公式①，而证明此公式需要用到极限 ? ?=1④. 这可见高校教材第147页的例4：（sinx）′= ? ?= ? ?= ?cosx+ ?· ? ?=cosx. 但普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下简称《选修2-2》）第14页只给出了导数公式①，而没有证明，考生用导数的定义求极限的方法犯了循环论证的错误. 何况考生可能还会这样认为：解答第（1）问时可以用导数公式①，为什么解答第（2）问时就不能用导数公式①呢？ 实际上这很正常：因为前者没有犯循环论证的错误，而后者犯了这种错误. 《选修2-2》第32页B组第1题第（1）小题：利用函数的单调性，证明不等式sinx 与《选修2-2》配套使用的《教师教学用书》（人民教育出版社，2007年第2版）第28页给出了这道题的解答，但该解答中运用了导数公式①，而证明此公式需要先用图1的面积法证明sinx 所以此证法也是循环论证！ 普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下简称《必修4》）第108页第4题是： 求证：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）. 文献（甘志国，对人教版教科书《数学·A版必修④》的几点建议）指出了与《必修4》配套使用的《教师教学用书》第97页给出的该题的证法二也是循环论证. 专著（甘志国著，三角与平面向量）还指出了一些权威文献及高考试题中出现的循环论证的例子. 要想避免循环论证不容易！只有弄清了各定理、公式、定义之间的关系，才能有效地避免犯循环论证的错误. 亲爱的老师，你的学生知道何谓循环论证吗？应向他们适当介绍一点，以免他们犯了这样的错误却不知道. |
| 随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。