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标题 浅谈如何改进高等数学教学方法
范文

    余国胜

    

    

    【摘要】高等数学是一门实用性很强的数学学科.本文结合自己多年的教学心得,对如何改进高等数学教学提出几点意见,以使学生相对轻松地完成学习任务,提高数学能力水平.

    【关键词】普通高等学校;高等数学;教学方法

    高等数学是研究函数关系的一门学科.高等数学内容庞杂,知识零散,教学进度相对紧凑,基本没有太多复习时间,这使学生很難编织有效、科学的知识网,形成良好的知识结构体系,从而造成习得知识不够系统,最终导致考试不及格.因此,如何提高学生学习高等数学的兴趣,科学、有效地学习这门课程,是大学数学教师亟待解决的重要课题.下面介绍几种常用的改进高等数学教学的方法.

    一、深挖教材,激发学生思考的能力

    教材证明极限limn→∞1+1nn存在时,用到单调有界数列必有极限的知识,而验证数列单调增加的方法非常烦琐,下面给出一个简易的证明方法.由均值不等式,得1+1nn=1+1n·…·1+1n×1<1+1n+…+1+1n+1n+1n+1=1+1n+1n+1.

    书上的证明容易忘记,而我们通过这样一个不等式的技巧,就能使学生触类旁通,举一反三.

    二、注重知识点糅合,提高学生综合运用知识的能力

    微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.教材是通过构造合适的辅助函数,循序渐进地利用罗尔定理得到拉格朗日中值定理和柯西中值定理.此外,作为推广,还有积分中值定理.有这样一道习题:已知f(x)在[0,1]上可导,f(0)=2∫112f(x)1+x2dx,

    则存在ξ∈(0,1),使得1+ξ2f′(ξ)-2ξf(ξ)=0.这道题的突破口是考虑辅助函数g(x)=f(x)1+x2.由积分中值定理,存在η∈12,1,使

    f(0)=f(η)1+η2,即g(0)=g(η).

    由罗尔定理,则存在ξ∈(0,1),使得(1+ξ2)f′(ξ)-2ξf(ξ)=0.

    三、注重知识间的联系,提高学生迁移知识的能力

    在讲授条件极值时,我们发现拉格朗日乘数法的推导过程非常巧妙,其巧妙之处在于力求形式上的统一.为了加深对这一点的理解,我们思考一道习题:

    设a,b>0,试证ξ∈(a,b),使得aeb-bea=(1-ξ)eξ(a-b).这道题有一定难度,但我们可以将等式变形为

    ebb-eaa1b-1a=(1-ξ)eξ,

    然后柯西中值定理可以很容易证明结果.

    由此可以看出,注重知识间的联系,提高学生迁移知识的能力是何等重要.

    四、深挖教材,提高教师的教学水平

    《高等数学》下册傅里叶级数部分的内容在小波分析、谐波分析和符号分析系统中具有举足轻重的作用,狄利克雷充分条件虽未给出证明,但作为教师来说,很有必要弄清其详细的证明过程,这样无疑能够有效提升教学水平.

    定理(收敛定理,狄利克雷充分条件) 设f(x)是周期为2π的周期函数,如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,

    (2)在一个周期内至多只有有限个极值点,

    那么f(x)的傅里叶级数收敛,并且:

    (1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);

    (2)当x是f(x)的间断点时,级数收敛于f(x-)+f(x+)2.

    我尝试给出了一个新的证明:

    引理1(黎曼引理) 对于任意一个在[a,b]上可积的函数f(x),有limn→∞∫baf(x)sin nxdx=0.

    证明 由f(x) 在[a,b]上可积,则sin nx=sin nx+sin nx2-sin nx-sin nx2,x∈0,2π.

    先证明:limn→∞∫baf(x)sin nx+sin nx2dx=∫baf(x)dx·12π∫2π0sin t2dt.

    取正整数m, 使得[a,b][-2mπ,2mπ].

    作辅助函数

    F(x)=f(x),x∈[a,b],0,x∈[-2mπ,2mπ]∩[a,b]c.

    在区间[-2mπ,2mπ] 上作2mn等分:

    由于F(x)在kn2π,k+1n2π(k=-mn,-mn+1,…,mn-1)上必有下确界mk 和上确界Mk, 由积分第一中值定理,有ck∈mk,Mk,使

    ∫baf(x)sin nx+sin nx2dx=limm→∞∫2mπ-2mπF(x)sin nx+sin nx2dx

    =∫2π0|sin t|2dtlimm→∞∑mn-1k=-mnckn=∫baf(x)dx12π∫2π0sin t2dt.

    同理可证,

    limn→∞∫baf(x)sin nx-sin nx2dx

    =∫baf(x)dx12π∫2π0sin t2dt.

    则limn→∞∫baf(x)sin nxdx=0.

    引理2(Bessel不等式) 若函数f(x)在[-π,π]上可积,则a202+∑∞n=1(a2n+b2n)≤1π∫π-πf2(x)dx.

    证明 令an=1π∫π-πf(x)cos nxdx.

    bn=1π∫π-πf(x)sin nxdx.

    设Sm(x)=a02+∑∞n=1ancos nx+bnsin nx).

    由傅里叶级数系数公式可以知道,

    ∫π-πf(x)Sm(x)dx=π2a20+π∑mn=1(a2n+b2n),

    ∫π-πS2m(x)dx=π2a20+π∑mn=1a2n+b2n).

    注意到在此处利用公式

    ∫π-πcos 2nxdx=π(n=0,1,…),

    ∫π-πsin 2nxdx=π(n=1,2,…),

    于是可以得到

    0≤∫π-π[f(x)-Sm(x)]2dx,

    則π2a20+π∑mn=1(a2n+b2n)≤∫π-πf2(x)dx.

    这个结果对于m∈N均成立,而右端是定积分,可以理解为有限常数,据此可知“π2a20+π∑mn=1(a2n+b2n)”这个级数的部分和有界,则引理2成立.

    引理3 若函数f(x)是T=2π的周期函数,且在(-π,π)上可积,则它的傅里叶级数部分和Sm(x)可改写为Sm(x)=1π∫π-πf(x+u)sinm+12u2sinu2du.

    证明 设Sm(x)=a02+∑mn=1ancos nx+bnsin nx).

    则有Sm(x)=1π∫π-πf(u)12+∑mn=1cos n(u-x)du

    =1π∫π-x-π-xf(x+t)12+∑mn=1cos ntdt.

    利用三角函数的积化和差公式

    cos αsin β=12[sin(α+β)-sin(α-β)].

    事实上,

    2sinu212+∑mn=1cos nu=sin m+12u.

    利用f(x)的周期性,得

    Sm(x)=1π∫π-πf(x+u)sinm+12u2sinu2du.

    收敛定理的证明

    在[a,b]上的每一点都有f(x±0),且补充定义后的函数为f1(x),有:

    limu→0+fx+u-f(x+0)u=f1(x+0),

    limu→0-fx+u-f(x-0)u=f1x-0,

    则f(x)的傅里叶级数在点x收敛于这一点的算术平均值f(x+0)+f(x-0)2,若在x处连续,则收敛于f(x).

    为方便,这里仅证明f(x)是T=2π的在[-π,π]上的按段光滑函数(上述命题在此基础上稍加变换即可),则当x∈[-π,π]时,有(其中an,bn是傅里叶级数系数) :

    若limm→∞fx+0+f(x-0)2-Sm(x)=0成立,则命题得证.

    limm→∞fx+0+fx-02-Sm(x)

    =limm→∞fx+0+f(x-0)2-1π∫π-πfx+usin m+12u2sinu2du.

    【参考文献】

    [1]同济大学数学系.高等数学:第7版[M].北京:高等教育出版社,2014.

    [2]于新艳.高等数学中的审美教育方法探讨[J].黑龙江科学,2015(16):58-59.

    [3]陈开宇.微分中值定理中间点的性质研究[J].新校园(中旬刊),2014(5):47,214.

    [4]张福珍,姜咏梅.民办高职院校高等数学教材改革探索[J].江苏建筑职业技术学院学报,2013A(2):40-42.

    [5]詹世鸿,薛良胜.高职院校高等数学教学现状的调查与分析[J].通化师范学院学报,2010(2):96-98.

    [6]王信存.关键函数和辅助函数:解决积分运算的一种思想[J].河池学院学报,2010(2):4-8.

    [7]徐键清.浅析数学教学中的“猜想”[J].考试周刊,2010(45):63-64.

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更新时间:2025/3/21 19:12:18