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浅谈如何改进高等数学教学方法

范文

余国胜

【摘要】高等数学是一门实用性很强的数学学科.本文结合自己多年的教学心得，对如何改进高等数学教学提出几点意见，以使学生相对轻松地完成学习任务，提高数学能力水平.

【关键词】普通高等学校;高等数学;教学方法

高等数学是研究函数关系的一门学科.高等数学内容庞杂，知识零散，教学进度相对紧凑，基本没有太多复习时间，这使学生很難编织有效、科学的知识网，形成良好的知识结构体系，从而造成习得知识不够系统，最终导致考试不及格.因此，如何提高学生学习高等数学的兴趣，科学、有效地学习这门课程，是大学数学教师亟待解决的重要课题.下面介绍几种常用的改进高等数学教学的方法.

一、深挖教材，激发学生思考的能力

教材证明极限limn→∞1+1nn存在时，用到单调有界数列必有极限的知识，而验证数列单调增加的方法非常烦琐，下面给出一个简易的证明方法.由均值不等式，得1+1nn=1+1n·…·1+1n×1<1+1n+…+1+1n+1n+1n+1=1+1n+1n+1.

书上的证明容易忘记，而我们通过这样一个不等式的技巧，就能使学生触类旁通，举一反三.

二、注重知识点糅合，提高学生综合运用知识的能力

微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.教材是通过构造合适的辅助函数，循序渐进地利用罗尔定理得到拉格朗日中值定理和柯西中值定理.此外，作为推广，还有积分中值定理.有这样一道习题：已知f（x）在[0，1]上可导，f（0）=2∫112f（x）1+x2dx，

则存在ξ∈（0，1），使得1+ξ2f′（ξ）-2ξf（ξ）=0.这道题的突破口是考虑辅助函数g（x）=f（x）1+x2.由积分中值定理，存在η∈12，1，使

f（0）=f（η）1+η2，即g（0）=g（η）.

由罗尔定理，则存在ξ∈（0，1），使得（1+ξ2）f′（ξ）-2ξf（ξ）=0.

三、注重知识间的联系，提高学生迁移知识的能力

在讲授条件极值时，我们发现拉格朗日乘数法的推导过程非常巧妙，其巧妙之处在于力求形式上的统一.为了加深对这一点的理解，我们思考一道习题：

设a，b>0，试证ξ∈（a，b），使得aeb-bea=（1-ξ）eξ（a-b）.这道题有一定难度，但我们可以将等式变形为

ebb-eaa1b-1a=（1-ξ）eξ，

然后柯西中值定理可以很容易证明结果.

由此可以看出，注重知识间的联系，提高学生迁移知识的能力是何等重要.

四、深挖教材，提高教师的教学水平

《高等数学》下册傅里叶级数部分的内容在小波分析、谐波分析和符号分析系统中具有举足轻重的作用，狄利克雷充分条件虽未给出证明，但作为教师来说，很有必要弄清其详细的证明过程，这样无疑能够有效提升教学水平.

定理（收敛定理，狄利克雷充分条件）设f（x）是周期为2π的周期函数，如果它满足：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，

（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，

那么f（x）的傅里叶级数收敛，并且：

（1）当x是f（x）的连续点时，级数收敛于f（x）;

（2）当x是f（x）的间断点时，级数收敛于f（x-）+f（x+）2.

我尝试给出了一个新的证明：

引理1（黎曼引理）对于任意一个在[a，b]上可积的函数f（x），有limn→∞∫baf（x）sin nxdx=0.

证明由f（x）在[a，b]上可积，则sin nx=sin nx+sin nx2-sin nx-sin nx2，x∈0，2π.

先证明：limn→∞∫baf（x）sin nx+sin nx2dx=∫baf（x）dx·12π∫2π0sin t2dt.

取正整数m，使得[a，b][-2mπ，2mπ].

作辅助函数

F（x）=f（x），x∈[a，b]，0，x∈[-2mπ，2mπ]∩[a，b]c.

在区间[-2mπ，2mπ] 上作2mn等分：

由于F（x）在kn2π，k+1n2π（k=-mn，-mn+1，…，mn-1）上必有下确界mk 和上确界Mk，由积分第一中值定理，有ck∈mk，Mk，使

∫baf（x）sin nx+sin nx2dx=limm→∞∫2mπ-2mπF（x）sin nx+sin nx2dx

=∫2π0|sin t|2dtlimm→∞∑mn-1k=-mnckn=∫baf（x）dx12π∫2π0sin t2dt.

同理可证，

limn→∞∫baf（x）sin nx-sin nx2dx

=∫baf（x）dx12π∫2π0sin t2dt.

则limn→∞∫baf（x）sin nxdx=0.

引理2（Bessel不等式）若函数f（x）在[-π，π]上可积，则a202+∑∞n=1（a2n+b2n）≤1π∫π-πf2（x）dx.

证明令an=1π∫π-πf（x）cos nxdx.

bn=1π∫π-πf（x）sin nxdx.

设Sm（x）=a02+∑∞n=1ancos nx+bnsin nx）.

由傅里叶级数系数公式可以知道，

∫π-πf（x）Sm（x）dx=π2a20+π∑mn=1（a2n+b2n），

∫π-πS2m（x）dx=π2a20+π∑mn=1a2n+b2n）.

注意到在此处利用公式

∫π-πcos 2nxdx=π（n=0，1，…），

∫π-πsin 2nxdx=π（n=1，2，…），

于是可以得到

0≤∫π-π[f（x）-Sm（x）]2dx，

則π2a20+π∑mn=1（a2n+b2n）≤∫π-πf2（x）dx.

这个结果对于m∈N均成立，而右端是定积分，可以理解为有限常数，据此可知“π2a20+π∑mn=1（a2n+b2n）”这个级数的部分和有界，则引理2成立.

引理3 若函数f（x）是T=2π的周期函数，且在（-π，π）上可积，则它的傅里叶级数部分和Sm（x）可改写为Sm（x）=1π∫π-πf（x+u）sinm+12u2sinu2du.

证明设Sm（x）=a02+∑mn=1ancos nx+bnsin nx）.

则有Sm（x）=1π∫π-πf（u）12+∑mn=1cos n（u-x）du

=1π∫π-x-π-xf（x+t）12+∑mn=1cos ntdt.

利用三角函数的积化和差公式

cos αsin β=12[sin（α+β）-sin（α-β）].

事实上，

2sinu212+∑mn=1cos nu=sin m+12u.

利用f（x）的周期性，得

Sm（x）=1π∫π-πf（x+u）sinm+12u2sinu2du.

收敛定理的证明

在[a，b]上的每一点都有f（x±0），且补充定义后的函数为f1（x），有：

limu→0+fx+u-f（x+0）u=f1（x+0），

limu→0-fx+u-f（x-0）u=f1x-0，

则f（x）的傅里叶级数在点x收敛于这一点的算术平均值f（x+0）+f（x-0）2，若在x处连续，则收敛于f（x）.

为方便，这里仅证明f（x）是T=2π的在[-π，π]上的按段光滑函数（上述命题在此基础上稍加变换即可），则当x∈[-π，π]时，有（其中an，bn是傅里叶级数系数）：

若limm→∞fx+0+f（x-0）2-Sm（x）=0成立，则命题得证.

limm→∞fx+0+fx-02-Sm（x）

=limm→∞fx+0+f（x-0）2-1π∫π-πfx+usin m+12u2sinu2du.

【参考文献】

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[5]詹世鸿，薛良胜.高职院校高等数学教学现状的调查与分析[J].通化师范学院学报，2010（2）：96-98.

[6]王信存.关键函数和辅助函数：解决积分运算的一种思想[J].河池学院学报，2010（2）：4-8.

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