| 标题 | 数形结合思想 |
| 范文 | 陆晔 数与形是数学发展中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观具体，以便于探求解题思路或找到问题的结论.可见数形结合，不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法. 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为以下两种情形：第一，借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；第二，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”. 当我们探究几何问题的解题思路受阻，或虽有办法但很艰难时，我们常常考虑能否将其转化为代数问题，而转化的常用方法是解析法即建立坐标系；还可引进复平面用复数的有关知识解决，综合使用三角法、向量法等代数方法，常可得到简洁的解法. 其典型代表是在立体几何与解析几何中的应用. 思路点拨 本题用几何的方法证明不易，可考虑用解析法，适当建立坐标系，将“形”的问题转化为“数”的问题. 由于“数”具有精确性的特征，所以巧妙利用这一性质就可以阐明“形”的某些属性，从而准确澄清“形”的模糊，使问题得以解决. 思路点拨 题设所描述的语言都非常形象直观，同学们很容易就能画出对应的图形，但是要求出实数m的范围，却不是靠看图就能看出来的，这需要我们把图形语言转换成代数语言，然后通过严谨的代数运算来求得m的精确范围. 由于图形具有生动性和直观性的特点，恰当地利用图形就能使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题灵活、简洁、准确地获解.说白了，就是将代数问题转化为几何问题，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，把数量关系转化为图形的性质来研究，思路与方法便在图形中直观显示出来，不仅可以加深对数量关系的理解，而且还能简化运算过程，起到事半功倍的效果. 1. 利用图形研究方程或不等式的解 解方程或不等式时，如果方程或不等式两边表达式有明显的几何意义，或通过某种方式可与图形建立联系，则可设法构造图形，将方程或不等式所表达的抽象数量关系直接在图形中得以直观形象地展现. 美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题，可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.” 思路点拨 此题如果用代数方法强行演算的话，虽然也能得到答案，但是运算“成本”太大，而且复杂的代数运算也会增加出错的概率. 考虑到这是一道选择题，不需要详细的推导过程，因此我们不妨“投机取巧”，利用向量的几何意义，缩短“战线”. 数与形是数学发展中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观具体，以便于探求解题思路或找到问题的结论.可见数形结合，不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法. 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为以下两种情形：第一，借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；第二，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”. 当我们探究几何问题的解题思路受阻，或虽有办法但很艰难时，我们常常考虑能否将其转化为代数问题，而转化的常用方法是解析法即建立坐标系；还可引进复平面用复数的有关知识解决，综合使用三角法、向量法等代数方法，常可得到简洁的解法. 其典型代表是在立体几何与解析几何中的应用. 思路点拨 本题用几何的方法证明不易，可考虑用解析法，适当建立坐标系，将“形”的问题转化为“数”的问题. 由于“数”具有精确性的特征，所以巧妙利用这一性质就可以阐明“形”的某些属性，从而准确澄清“形”的模糊，使问题得以解决. 思路点拨 题设所描述的语言都非常形象直观，同学们很容易就能画出对应的图形，但是要求出实数m的范围，却不是靠看图就能看出来的，这需要我们把图形语言转换成代数语言，然后通过严谨的代数运算来求得m的精确范围. 由于图形具有生动性和直观性的特点，恰当地利用图形就能使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题灵活、简洁、准确地获解.说白了，就是将代数问题转化为几何问题，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，把数量关系转化为图形的性质来研究，思路与方法便在图形中直观显示出来，不仅可以加深对数量关系的理解，而且还能简化运算过程，起到事半功倍的效果. 1. 利用图形研究方程或不等式的解 解方程或不等式时，如果方程或不等式两边表达式有明显的几何意义，或通过某种方式可与图形建立联系，则可设法构造图形，将方程或不等式所表达的抽象数量关系直接在图形中得以直观形象地展现. 美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题，可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.” 思路点拨 此题如果用代数方法强行演算的话，虽然也能得到答案，但是运算“成本”太大，而且复杂的代数运算也会增加出错的概率. 考虑到这是一道选择题，不需要详细的推导过程，因此我们不妨“投机取巧”，利用向量的几何意义，缩短“战线”. 数与形是数学发展中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观具体，以便于探求解题思路或找到问题的结论.可见数形结合，不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法. 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为以下两种情形：第一，借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；第二，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”. 当我们探究几何问题的解题思路受阻，或虽有办法但很艰难时，我们常常考虑能否将其转化为代数问题，而转化的常用方法是解析法即建立坐标系；还可引进复平面用复数的有关知识解决，综合使用三角法、向量法等代数方法，常可得到简洁的解法. 其典型代表是在立体几何与解析几何中的应用. 思路点拨 本题用几何的方法证明不易，可考虑用解析法，适当建立坐标系，将“形”的问题转化为“数”的问题. 由于“数”具有精确性的特征，所以巧妙利用这一性质就可以阐明“形”的某些属性，从而准确澄清“形”的模糊，使问题得以解决. 思路点拨 题设所描述的语言都非常形象直观，同学们很容易就能画出对应的图形，但是要求出实数m的范围，却不是靠看图就能看出来的，这需要我们把图形语言转换成代数语言，然后通过严谨的代数运算来求得m的精确范围. 由于图形具有生动性和直观性的特点，恰当地利用图形就能使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题灵活、简洁、准确地获解.说白了，就是将代数问题转化为几何问题，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，把数量关系转化为图形的性质来研究，思路与方法便在图形中直观显示出来，不仅可以加深对数量关系的理解，而且还能简化运算过程，起到事半功倍的效果. 1. 利用图形研究方程或不等式的解 解方程或不等式时，如果方程或不等式两边表达式有明显的几何意义，或通过某种方式可与图形建立联系，则可设法构造图形，将方程或不等式所表达的抽象数量关系直接在图形中得以直观形象地展现. 美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题，可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.” 思路点拨 此题如果用代数方法强行演算的话，虽然也能得到答案，但是运算“成本”太大，而且复杂的代数运算也会增加出错的概率. 考虑到这是一道选择题，不需要详细的推导过程，因此我们不妨“投机取巧”，利用向量的几何意义，缩短“战线”. |
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