标题 | 二项式定理 |
范文 | 赵攀峰 二项式定理是中学数学的一个重要定理,不仅在初等数学学习中有着广泛应用,而且又是学习概率、微积分等有关高等数学知识的重要基础. (1)二项式定理是恒等式,要注意公式的正用和逆用:从左往右用,可解决如整除性问题、余数问题、近似计算等;从右往左用,是把一个多项式合并,或者是一个求和公式,利用它可解决某些求和的问题. (2)二项式系数、系数、常数项、项数等概念,需在平时加以对比分析,结合通项公式进行重点训练. (3)在熟练掌握二项式系数的所有性质的基础上,要进一步掌握二项式系数有关性质的证明方法,其中最重要的方法是赋值法. 赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段,许多复杂的与系数有关的问题均可利用赋值法解决. ■例1 在■+■8的展开式中,含x的非整数次幂的项的系数之和为( ) A. 72 B. 112 C. 184 D. 256 思索 根据二项式展开式的通项公式写出通项,再进行整理化简.由x的指数为整数,确定哪几项是整数次幂的项,最后计算出非整数次幂的项的系数之和. 破解 Tr+1=C■■(■)8-r■r=C■■·x■,r=0,1,2,···,8,所以当r=0,4,8时,x的次幂是整数;且C■■=1,C■■=70,C■■=1. 又二项式展开式的所有项系数之和为28=256,故含x的非整数次幂的项的系数之和为256-1-1-70=184. 选项C正确. ■例2 已知x+■2x-■5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为________. 思索 首先,由x=1确定a的值,然后需要利用排列组合知识求解特定项. 破解 对于x+■2x-■5,令x=1,得a+1=2,a=1. 又知2x-■5的展开式的通项Tk+1=C■■(2x)5-k·-■k=Ck525-k×(-1)k×x5-2k. 要得到展开式的常数项,则x+■中的x与2x-■5的展开式中含■的项相乘,x+■中的■与2x-■5的展开式中含x的项相乘,故令5-2k=-1,得k=3;令5-2k=1得k=2. 从而可得常数项为C■■×22(-1)3+C■■×23×(-1)2=40. 变式练习 1. (x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________. 2. 在■+■24的展开式中,x的幂指数是整数的项共有( ) A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项 3. C■■+C■■+···+C■■+···+C■■的值为( ) A. 2n B. 22n-1 C. 2n-1 D. 22n-1-1 4. 若ax2+■6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为________. 参考答案 1. -20 2. C 3. D 4. 2 |
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