| 标题 | 导数及其应用 |
| 范文 | 导数及其应用一直是高考数学中的重点、热点、难点，特别是通常出现在理科数学试卷的压轴题中，对考生数学能力的要求较高. 试题往往具有挑战性，是考生能否得高分的分水岭. 在导数的复习备考中要努力过好以下三关：第一关，会求目标函数的导函数，即能准确、熟练地根据导数的运算法则及基本函数的导数，求出试题给出的目标函数的导数，特别要重视运算的准确性，它关系后面结果的对错；第二关，会直接应用导数解题，即能解决导数的简单应用问题，如利用导数说明（或证明）函数的单调性，求函数的极值和最值等；第三关，会构造应用，即能对试题所涉及的目标函数进行合理的改造和变形，然后再利用导数解决之. （1）要熟悉运用导数研究函数性质的基本程序：先求出函数的定义域，再求其导函数，确定导函数的零点，由此可得函数的单调性及极值（或最值）. （2）对于含参变量的最值问题，特别要注意分类讨论思想的应用. （3）对于比较陌生的创新问题，要注意等价转化思想的应用，若能化归为熟悉的基本问题，则离成功就不远了. （4）若试题中有若干个小题，则特别要注意前后小题之间的联系，要有利用前面小题所得的结论解决后面问题的意识. 例1 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1，x2（x1 B. f（x1）<0， f（x2）<- C. f（x1）>0， f（x2）<- D. f（x1）<0， f（x2）>- 破解思路 由于给出的函数含有参数a，因此可由条件确定参数a的取值范围，再由函数的导函数确定两个极值点x1，x2（x1 破解思路 由不等式f（x）> 成立，求字母系数a的取值范围，解决的常规方法是分离变量法，即从不等式中分离出a，然后化归为求函数的最值问题. 要实现变量的分离，必须把等式左边的分母lnx除去，即需要确定lnx的值的正负，但lnx的值的符号是不确定的，所以可用分类讨论的方法，把原问题分解成两个小问题来解决. 答案详解 （1）？坌x∈（0，1）， f（x）> 恒成立？圳？坌x∈（0，1）， > 恒成立？圳？坌x∈（0，1），a>x- lnx恒成立. 令h（x）=x- lnx，则h′（x）= （ -1-ln ）. 令t= ，t∈（0，1），则s（t）=t-1-lnt，所以s′（t）=1- . 当0 所以？坌x∈（1，+∞），h′（x）= （ -1-ln ）>0，h（x）=x- lnx是（1，+∞）上的增函数，？坌x∈（1，+∞）时，h（x）=x- lnx>h（1）=1，所以a≤1. 由（1）（2）可知，当且仅当a=1时， ？坌x∈（0，1）∪（1，+∞）， f（x）> 恒成立. 1. 若已知曲线y=x4+ax2+1在点P（-1，a+2）处的切线的斜率为8，则a的值为（ ） A. 9 B. 6 C. -9 D. -6 2. 已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex-1）（x-1）k（k=1，2），则（ ） A. 当k=1时， f（x）在x=1处取到极小值 B. 当k=1时， f（x）在x=1处取到极大值 C. 当k=2时， f（x）在x=1处取到极小值 D. 当k=2时， f（x）在x=1处取到极大值 3. 已知直线l：y=3x-e（e为自然对数的底数）是函数f（x）=ax+xlnx图象的切线， （1）求实数a的值； （2）设g（x）= （其中x>1）， ①证明：函数g（x）在区间（1，+∞）上存在最小值； ②设k为整数，且对于任意的x∈（1，+∞）有k |
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