| 标题 | 数学教学中思维导图教学法的实践与思考 |
| 范文 | 钱琳 [摘 要] 思维导图教学法是一种以图形作为载体，以知识主次、轻重程度作为枝叶发散的一种思维训练法.其与中学数学教学进行结合，有助于提高教学的有效性. [关键词] 思维导图；数学；函数；数列；教学 美国图论学者哈里有一句名言：As a map of thousands and thousands of words. 译成中文就是：千言万语不如一张图. 这与课程标准提出的“数学需要恰当的形式化，并辅以非形式化手段进行合理的教学”有如出一辙的道理. 思维导图的创立者、英国心理学家巴赞正是基于大量的实践研究，提出了学习需要利用图形使其更有条理的策略，这让这种思维训练方式风靡全球. 从高中数学角度来看，其拥有纷繁复杂的知识点，并且我们发现在复习阶段，这些知识点一条条的罗列，让学生记忆、理解这些知识失去了条理性和规律性，使得这么多知识以单一的形态呈现，让数学学习失去了效率. 简单地说，思维导图是一种利用图形化策略表达思维轨迹的图形工具. 按照哈里的观点，每一张思维导图是围绕一个主题进行设计创编的，若有多个主题，自然需要多张思维导图进行设计. 一般来说，知识点就是数学思维导图的中心，其概念、性质、公式等成为中心的多条辐射路线，组成一个思维核心. 这一教学方式比较普遍运用于国外教学机构，其避免了教学中出现的两种极端学习方式：第一，上课不抄笔记，导致不断遗忘，学习效率低下；第二，上课不停抄写笔记，没有时间思考，思维启发和理解缺失. 思维导图正是将这些不足进行了合理的划分，让学生在数学学习中显得更有针对性和目的性. 为何需要思维导图 中学数学分为两个教学阶段：初中数学和高中数学. 从教材内容来看，初中数学更多是以感性的架构承载知识，让学生获得一步一步走向形式化的学习途径；而高中数学相比而言来得更为抽象，西南师大陈重穆等教授一直对当下高中数学教学过于抽象、形式化的过程和结论提出了不同的意见，认为其阻碍了更多学生喜欢数学、欣赏数学的道路. 从数学素养的角度来说，笔者也非常认同这样的想法. 陈教授提出了以重要核心知识点为中心，以其发散形成思维导图，将多个重要核心知识衔接形成导图群的想法. 为何要这么做？这与学习知识日益增多以及学习时间日益减少有关. 从课程改革多次以来，中学数学内容有增无减，以往传统经典内容加上大学初步都进入高中数学教材必修与选修，导致学习过程中知识体系纷繁复杂、凌乱无比，亟需高效的思维工具进行梳理和提炼.这是思维导图进入数学教学的重要因素之一. 以二次函数为例，对于刚刚进入高中学习的学生，教师引导学生建构头脑中对二次函数知识点的思维导图，可以从其定义、图像和性质、解析式常见的四种求法以及二次函数的应用建构二次函数在我们日常学习中的主要作用和地位. 在这一基础上，学习高中数学的函数性质之后，笔者请学生也绘制了相关知识的思维导图：从函数性质的角度而言，函数單调性、奇偶性、周期性是函数最基本的三大性质，其地位也是逐渐递减，并指导学生认知单调性的主要作用是研究函数的最值，奇偶性的主要作用是事倍功半，周期性的主要作用是循环往复. 让学生在理解的基础上，将一系列相关性质绘制成思维导图（图2为学生绘制），学生还将抽象函数中的奇偶性、周期性的相关公式在导图中进行复习巩固. 从这一思维导图来看，制作显得比较粗糙，但是总体上让学生自身对于函数相关的重要性质有了清晰的认识，是一种非常有效的思维工具. 如何制作思维导图 对于章节性的思维导图制作，相对而言一般比较简单，甚至有很多相关资料可以参考. 笔者认为，这是传统的思维导图制作的常见结论，如何制作更具有目的性的思维导图？如何制作符合学生在具体解决数学实际问题的思维导图？这才是符合数学教学、与时俱进的思维导图，其具备了数学教学的实践性.以数列构造求解通项为例，教师设计问题串，通过问题串的解决，引导学生建构递推数列求解通项的思维导图的设计. 问题1：已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通项an. 分析：令an+λn+u=2[an-1+λ（n-1）+u]，整理得an=2an-1+λn-2λ+u. 由待定系数法得λ=1，-2λ+u=-2，得λ=1，u=0.所以an+n=2[an-1+（n-1）]（n≥2），即{an+n}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，得an=2n-n. 问题2：{an}满足a1=1，an+1=2an+n2，求通项an. 分析：由an+1=2an+n2及上述构造，令an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=2（an+λn2+un+v），整理得an+1=2an+λn2+（u-2λ）n+v-u-λ.由待定系数法得λ=1，u-2λ=0，v-u-λ=0，得λ=1，u=2，v=3，所以=2，即{an+n2+2n+3}是以a1+1+2+3为首项，2为公比的等比数列，所以an=7·2n-1-n2-2n-3. 问题3：设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列. （1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式. 分析：由2Sn=an+1-2n+1+1可得2Sn-1=an-2n+1（n≥2），两式相减可得2an=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n. 运用整体思想，an+1=3an+2n？圯an+1+2n+1=3（an+2n），所以数列{an+2n}（n≥2）是一个以a2+4为首项，3为公比的等比数列. 由2a1=a2-3可得a2=5，所以an+2n=9×3n-2，即an=3n-2n（n≥2）. 当n=1时，a1=1也满足. 故数列{an}的通项公式是an=3n-2n. 问题4：设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn. （1）证明：当b=2时，{an-n·2n-1}是等比数列；（2）求{an}的通项公式. 分析：由题意知a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn，ban+1-2n+1=（b-1）Sn+1，两式相减得b（an+1-an）-2n=（b-1）an+1，即an+1=ban+2n？摇①. （1）当b=2时，由①知an+1=2an+2n. 令an+1+λ（n+1）2n+1=2（an+λn2n），易得λ=-. 所以{an-n·2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列. （2）当b=2时，由（1）知an=（n+1）2n-1；当b≠2时，同理得an+1+λ2n+1=b（an+λ2n），λ=-，易得an=[2n+（2-2b）bn-1]. 说明：请学生制作相关思维导图，在上述问题串中以等比构造为主的递推通项求解中，我们不难发现形如an+1=pan+f（n）一类问题的通项求解都有一定的规律可循. 这种规律将f（n）变换为不同函数模型情况下的问题进行了思维总结，无论是常数函数、一次函数、二次函数，还是指数函数，都可以利用整体性思想进行思考和总结. 这种思维导图具备了解题的实效性，对于中学生学习数学而言是必不可少的归纳和思考. 将问题解决的过程以单元存储的方式进行思维导图总结，有助于知識的扩散和思维的启迪，有兴趣的读者可以进一步思考f（n）能否是对数函数模型，能否是对勾函数模型，能否都是高次函数模型. 这些思维导图结合具体数学解题知识的建构是中学数学最为有效的实践. 一点思考 思维导图是一个流行于全球的思维工具，其在其他学科也有着较为广泛的运用. 从今天数学教学来看，笔者以为其有着不错的使用价值. 笔者记得在大学就读时，复变函数的教授就曾经让笔者给复变知识体系绘制过思维导图，在整体层面上对复变函数有了新的理解. 从中学数学实践来看，笔者有了一些思考： （1）整章型的思维导图有助于学生认知知识体系，培养数学素养，理清知识脉络，对其站在系统的角度思考知识的重要性有着不小的作用. （2）对于中学生更为重要的是单一知识的思维导图，特别是解题的实践运用和总结，如文中给出的问题串求解数列模型，并在最后请学生将思维进行导图型总结，这种以案例式为载体的导图建构大大理清了数学知识难点的困惑，提高了应试的有效性. 限于篇幅和水平，笔者未能在其他方面做出更全面性的认知，恳请读者提出相关的宝贵意见，对思维导图在中学数学教学中的运用指出更为有效的使用价值. |
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