| 标题 | 探究问题本真，突破教学壁垒 |
| 范文 | 章建斌 [摘 要] 高考试题一般都具有较高的研究价值和教学运用价值，如果我们能通过研究分析，挖掘出其背后的通性通法，结合教学需求合理地优化设计，再通过有计划地引导和启发，可以让学生举一反三，激发学生的学习兴趣，有助于学生“整合思维—发现问题—突破常规—实现创新”. 本文以一道高考题为例，介绍笔者的研究心得和教学设计之旅. [关键词] 数列与不等式；教学设计；叠加法；叠积法 高考压轴题具有结构严谨、形式多变、情境新颖、构思巧妙、方法灵活等特点，是高三复习的宝贵资源；然而压轴题让众多学生望而生畏，摸不着头脑. 如果在复习中直接使用这样的例题教学，无疑会打击学生的自信心，起到“反作用”的效果. 那么，如何在课堂教学中充分利用这些难度大的高考题？这就需要教师对同类问题进行深入地研究，在教学过程中搭建好“支架”，通过由浅入深地合作探究来揭示问题的真相，挖掘出复杂背景下解决问题的通性通法，逐步提升学生的数学思维和数学能力. 下面笔者以2015年浙江省高考理科数学压轴题为例，谈谈教学设计上的一些想法. 问题提出 1. 原题呈现 题目（2015年高考真题）：已知数列{an}满足a1=且an+1=an-a（n∈N*）. （1）證明：1≤≤2（n∈N*）； （2）设数列a的前项和为Sn，证明：≤≤（n∈N*）. 2. 高考“标准答案”展示 （1）由题意得an+1-an=-a≤0，即an+1≤an，an≤. 由an=（1-an-1）an-1得an=（1-an-1）·（1-an-2）…（1-a1）a1>0. 由0（2）因为a=an-an+1， 所以Sn=a+a+…+a=（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-an+1）=a1-an+1①. 由-=和1≤≤2得1≤-≤2，所以n≤-≤2n. 因此≤an+1≤（n∈N*）②. 由①②得≤≤. 解法再思考，释疑解惑 1. 解读试题考查的知识与方法 本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式的性质等知识，同时考查考生的推理论证能力及分析问题和解决问题的能力. 求解的方法主要有：利用前n项和与通项公式之间的关系求解、定义法、构造新数列法等；数列的求和方法主要有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等，解题时要针对不同的数列特征选择不同的求和方法. 2. 解题过程中的难点突破 根据本题中的递推关系，数列{an}认为是在给定首项a1=后，由递推公式an+1=f（a）反复迭代生成的，此时把数列{an}叫作迭代数列. 显然迭代数列是由an+1=f（an）与首项a1共同决定的. 以迭代为背景的题目，浙江考生遇到的不多，显得有些神秘. 要证明第（2）问，实际上是证明2（n+1）≤≤2（n+2），它的左右两边是等差数列的通项，因此问题的突破口是证明是类等差数列. 但-又不好计算，所以此思路不是本题的切入点. 第（2）问的切入点在于对所证式子的等价转化，将复杂的、难运算的式子转化为简单的、好运算的式子，到此第（2）问的思路就很明显了：Sn=a+a+…+a=（a1-a2）+…+（an-an+1）=a1-an+1，由于数列{an}的通项公式本身不可求，因此通过递推式an+1=an-a转化为a=an-an+1，进而利用叠加法得到Sn=a1-an+1，故而只需解决通项an即可. 由an+1=an-a得-=，因为0设计再思考，优化重组 不可否认，此题作为高考压轴题有相当大的难度，很多学生陷入了无从下手的窘境. 但在错综复杂的题目中，肯定直接或间接地告诉了我们一些信息，而这些信息是常规的，是我们所熟知的.数列中最常规的无非是等差数列和等比数列及相关的一些基本方法，这些想法也可以从高考试题的标准答案和解题过程的难点突破中得到验证. 为此，笔者进行了一定程度的研究，发现一类数列与不等式综合问题解题的关键是认识递推式的结构特征，将递推式转化变形，再利用叠加法或叠积法进行解题. 为了有效地提高学生解决数列与不等式复杂问题的能力，有效地提升我们平常的教学效果，笔者进行了如下的教学设计，意在提炼通性通法，整合思维，让高考试题在教学中演绎高效精彩！ 1. 基础回顾，做好铺垫 （a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=an-a1①，××…×=②. 设计思考：①式叠加法和②式叠积法是等差数列与等比数列推导通项公式的常用方法，是学生熟知的. 通过回顾常用的恒等式，一方面告诉学生这个常用恒等式在这堂课中是有用的；另一方面通过搭“脚手架”的方式，充分利用学生现有的知识去解决更高水平的问题，有起点低、坡度缓的特点，符合学生“最近发展区”的认知原则. 2. 合作探究，提升认识 问题1：已知数列{an}满足an+1=a，0解答：由an+1=a得an=a=a=…=a，又0设计思考：本题强调递推式bn=（an-an+1）an+2中an-an+1的结构特征. 在求和时联想到①式叠加法的运用，即（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）=a1-an 问题2：已知数列{an}满足：an≥0，a1=0，a+an+1-1=a（n≥1），记Sn=a1+a2+…+an. 求证：（1）an+1>an；（2）Sn>n-2. 证明：（1）略； （2）由a+an+1-1=a得an+1=a-a+1，所以Sn=a1+a2+…+an=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+n-1=a-a+n-1=n-1-a. 由（1）知数列{an}为递增数列，又a+an+1-1=a，即a-a=1-an+1>0，所以an<1（n≥2），Sn=n-1-a>n-2. 设计思考：本题递推式a+an+1-1=a等价变形，得到an+1=a-a+1，看到了a-a的结构特征，在求和时联想到①式叠加法的变形运用，即Sn=a1+a2+…+an=（a-a）+（a-a）+…（a-a）+n-1=a-a+n-1=n-1-a. 虽然问题（1）和问题（2）都是叠加法的运用，本质是一樣的，但递推式的结构还是有区别的，或者说问题（2）是问题（1）的拓展. 问题3：已知数列{an}满足：a1=2，an+1=a-an+1（n≥1）. 求证：（1）an+1>an；（2）当n≥2时，an+1=anan-1…a2a1+1成立；（3）1-<++…+<1. 证明：（1）略；（2）略； （3）由an+1=a-an+1得==-，=-， 所以++…+=-+-+…+-=-=1-. 因为an+1>an≥a1=2，所以1-<1. 因为an+1=anan-1…a2a1+1≥2n+1，所以1->1-. 所以1-<++…+<1. 设计思考：本题的递推式an+1=a-an+1可变形为=-，根据这种结构特征，在求和时可用叠加法达到求和的目的，即++…+=-+-+…+-=1-. 由问题1、问题2、问题3可知，递推式的结构决定着求和的方法. 当递推式出现下列结构式：“an-an-1=”“a-a=”“-=”，可以用叠加法求数列的前n项和，甚至递推式的结构可以推广至“-=”的形式. 问题4：已知数列{an}满足：an=·（a+1），a1=1（n∈N*），求证：an≤2n-1. 证明：因为an=（a+1）>0，所以an=（a+1）≥×2=an+1，≤2，所以=…≤2n-1，所以an≤2n-1. 设计思考：本题根据结论an≤2n-1，其中数列{2n-1}是一个等比数列，故而猜想≤2，通过不等式放缩，恰好能得到我们所要的；但要说明an≤2n-1，可以通过叠积的方式=…≤2n-1来说明，这也是递推式的结构所决定的. 同样，当递推式出现结构式“=”，可以用叠积法求数列的前n项和. 当然，这种递推结构也是有变化的，如“=”“=”“=”等. 希望学生在学习时与叠加法的递推结构进行类比，能做到举一反三. 教学设计反思 高三二轮复习被称为“方法”篇，其中数列与不等式的综合应用教学就是高三二轮复习的一个专题，其目的就是培养学生良好的数学思维和数学能力. 如果教师不善于利用典型例题并进行优化设计，就不能把数学原理讲清楚、讲透彻，也就达不到提高教学效率的目的. 笔者以本文为例，谈谈在设计上的一些反思： 1. 例题设计的启发性原则 启发是游离于教师讲解和学生思维之外的活动形式，是教师通过合理的教学设计和有计划的引导让学生有所感悟. 本文是以2015年浙江省高考数学压轴题为知识背景，对解法再思考下进行的教学设计. 当递推式结构特征为“an-an-1=”“a-a=”“-=”“-=”“=”“=”等时，引导学生用高中数学教材中叠加法、叠积法的基本方法去思考问题，显然能达到启发的效果. 2. 例题设计的示范性原则 教师在备课时设计的例题要选取典型的题目，目的是在解题时能将过程清晰地反映出来，进而让学生通过例题学会遵循最基本的分析方法. 笔者的教学设计在于充分挖掘高考题背后的通法与通解，而没有过多地展示其解法的技巧；通过对递推式的研究及教学设计，用叠加法和叠积法来解决一类数列与不等式的综合应用问题，真可谓万变不离其宗. 3. 例题设计的层次性原则 本文以数列叠加法和叠积法的最基本形式为依托，通过递推式结构的变化，由浅入深，体现了例题设计的层次性. 这种层次不仅是逻辑之间的层次，更主要的是思维过程的生成性，可以看出笔者充分关注了学生的思维活动过程. 我们常说：“数学是思维的体操，思维是数学的灵魂，没有了思维，数学就失去了生命与活力. ”所以，以思维为基础，能力提升才能得到有效落实. |
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