| 标题 | 一道课本题的探究 |
| 范文 | 孙其天 [摘 要] 文章从课本中的一道已知数列递推公式求数列通项公式的试题出发，对其进行三次探究，得出类似问题的常规解法. 把握教材的例题与习题，注重对这些 题目：已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），对于这个数列的递推公式做一研究，能否写出它的通项公式？（人教A版数学《必修5》第二章数列复习参考题B组第6题） 探究一 已知递推公式a1=a，a2=b，an+2=pan+1+qan（其中p≠0，q≠0），求通项公式，此题采用构造法，转化为新的等差或等比数列. 若p+q=1时，有an+1-an=-q（an-an-1），所以an+1-an=（a2-a1）（-q）n-1，然后用累加法求解.若p+q≠1时，可先把原递推公式转化为an+2-san+1=t（an+1-san），其中s，t满足s+t=p，st=-q，再用累积法求解. 注意s，t实质是二次方程x2-px-q=0的两个实根，方程x2-px-q=0是an+2=pan+1+qan的特征方程，如果特征方程无根时，则需考虑数列的周期性. 解析：由an=2an-1+3an-2可转化为an-san-1=t（an-1-san-2） 即an=（s+t）an-1-tsan-2，所以s+t=2，st=-3，解得s=-1，t=3，或s=3，t=-1. 得an+an-1=3（an-1+an-2）以及an-3an-1= -（an-1-3an-2）， 所以an+an-1=3n-2（a2+a1）=7·3n-2，an-3an-1=（-1）n-2（a2-3a1）=13·（-1）n-1. 由以上兩式得4an=7·3n-1+13·（-1）n-1（n≥3）. 显然a1，a2满足上式. 所以数列的通项公式是an=[7·3n-1+13·（-1）n-1]. 评注：教材给出了数列的相邻三项的递推关系式，求解的突破口是分解中间项，构造等比数列. 把握教材的例题与习题，注重对这些例题的深入挖掘，深入思考，不论高考数列递推题的构思多么新颖，我们都可以不变应万变. 探究二 问题中将递推公式an=2an-1+3an-2两边同时除以an-2，可得=2+3，进一步变形得·=2·+3. 令bn=，则bn·bn-1=2bn-1+3，两边同除以bn-1得bn=2+. 对于递推公式b1=b，bn+1=p+（其中p≠0，r≠0）求通项公式采用构造法，转化为新的等差或等比数列. 若p2+4r=0时，存在非零常数-，使得数列是首项为=，公差为的等差数列；若p2+4r>0时，存在非零常数x，y，满足x+y=-p，xy=-r， 使得数列是首项为，公比为q=的等比数列.实际上递推公式bn+1=p+可写成bn+1·bn-pbn-r=0，-p，-r可以看作是二次方程x2-px-r=0的一次项系数和常数项，而p2+4r正好看作是判别式，因此总结为当Δ=p2+4r=0时，可构造等差数列求通项公式；当Δ=p2+4r>0时，可构造等比数列求通项公式；当Δ=p2+4r<0时，则需考虑数列的周期性. 例1 已知数列{an}中，a1=1，an+1= -3-，求数列{an}的通项公式. （人教A版数学《必修5》习题2.1A组第4题第2小题变形） 解析：p2+4r=1>0，令x+y=3，xy=2，解得x=2，y=1或x=1，y=2，不妨取x=2，y=1. 则数列是首项为=，公比为q==2的等比数列，因此=·2n-1，即an=. 评注：人教A版数学《必修5》习题2.1A组第4题第2小题使得p2+4r<0，则该数列是以3为周期的周期数列. 探究三 已知递推公式a1=a，a2=b，an+2=pan+1+qan（p2+4q>0），求通项公式. 设an+2+λan+1=（p+λ）（an+1+λan）， 所以an+2=pan+1+（p+λ）λan， 把an+2=pan+1+（p+λ）λan与an+2=pan+1+qan比较可得（p+λ）λ=q， 即λ2+pλ-q=0. 所以方程λ2+pλ-q=0有两个不同的根， 分别为λ1=，λ=. 由an+2=pan+1+qan可得an=pan-1+qan-2（n≥3）， 所以有an+λ1an-1=（p+λ1）（an-1+λ1an-2）① an+λ2an-1=（p+λ2）（an-1+λ2an-2） ② 由①得an+λ1an-1=（b+aλ1）（p+λ1）n-2③ 由②得an+λ2an-1=（b+aλ2）（p+λ2）n-2④ 由③×λ2-④×λ1得an=（n≥3）， 显然a1=a，a2=b均满足上式. 所以an=（n∈N*）. 例2 已知数列{an}中，a1=5，a2=2， 2（an+an+2）=5an+1，求数列{an}的通项公式. （2012年辽宁高考理科14题变形） 解析：由2（an+an+2）=5an+1得an+2=an+1-an. 设an+2+λan+1=+λ（an+1+λan）， 所以an+2=an+1++λλan， 把an+2=an+1++λλan与an+2=an+1-an比较可得+λλ=-1， 即λ2+λ+1=0， 解得λ1=-2，λ2=-. 所以有an+2-2an+1=（an+1-2an） ① an+2-an+1=2an+1-an ② 由①得an+2-2an+1=（2-2×5）= -8×=-23-n③ 由②得an+2-an+1=2-×52n= -×2n=-2n-1④ 由③-④×4得-3an+2=-23-n+2n+1，所以an+2=，即an=（n≥3）. 显然a1=5，a2=2均满足上式. 所以an=（n∈N*）. 评注：本题求解过程是构造出等比数列，联立两方程组消参，把数列相邻三项的递推关系式转化为数列的相邻两项的递推关系式，彰显了思维的创造性. |
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