| 标题 | 看透高考压轴题的数学背景 |
| 范文 | 涂勇 [摘 要] 文章通过对三道高考题的数学背景的探索，试图挖掘高考压轴题的编制思路，并尝试了原创压轴题. [关键词] 高考；压轴题；数学背景 高考压轴题以其创新的形式、思维的深度和灵活性著称，但压轴题也不会脱离数学的核心和本质，不是一味地追求技巧和复杂度，压轴题的背后往往有深刻的數学背景知识. 笔者在教学过程中，遇到几道高考压轴题，就是如此，下面做出说明. 例1 （2013广东理科第8题） 设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}，集合S={（x，y，z）x，y，z∈X，且三条件x B. （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S D. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S 分析：答案是B. 本题可以通过取特殊值或者分类讨论得出结果，但这些方法都没有看清本题的数学本质. 笔者认为本题的数学背景是圆排列情形. 事实上，x A. 0， B. ， C. ， D. ， 分析：答案是D. 笔者认为：本题的数学背景知识是平面四边形的四边平方和等于对角线平方和，也就是三角形的中线公式. 解法如下：本题中，OM既是△OAP又是△OB1B2的中线.利用中线公式，在△AOP中，有2（OA2+OP2）=（2OM）2+AP2；而在△OB1B2中，有2（OB+OB）=（2OM）2+B1B，于是有OA2+OP2=OB+OB=2. 例3 （2014湖北理科第14题）如图2，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB=2. （Ⅰ）圆C的标准方程为________； （Ⅱ）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论： ①=；②-=2；③+=2， 其中正确结论的序号是_________. （写出所有正确结论的序号） 分析：本题的背景知识是：阿波罗尼斯圆和调和分割. 设EF为圆O的直径，若点B，A调和分割线段EF，而EF的中点为O，于是有结论：①对于圆上任意一点M（或N），=为定值；②OA·OB=OE2. 于是本题第（Ⅱ）问可以这样求解：由圆C的切割线定理可知OA·OB=OT2=1=OM2，于是B，A正好调和分割线段EF. 设OA=x，于是x（x+2）=1，x=-1，因此====+1. 高考压轴题并不是仅仅在拼技巧和凑数据，一方面压轴题的出题要兼顾高中数学知识载体，另外一方面也要体现数学的思维和本质，于是利用一些适合的数学背景知识，就可以做出具有创新性的压轴题.笔者在教学过程中也曾经利用这种处理办法出了一道全新题目. 例4 （笔者新编）过椭圆C：+=1（m>0）的右焦点F作直线l与椭圆C交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P点，若以|MN|、4|PF|、长轴长为边长可以构成长轴长为最大边的钝角三角形，则m的取值范围是（ ） A. ，4 B. 0， C. ，4 D. 0， 答案：B 解答：+=1，y=k（x-c） ？圯（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0， x1+x2=，MN=2a-e（x1+x2）=，MN的垂直平分线为：y+=x-，令y=0，得xp=，于是PF=c-xp=，所以PF=MN. 因为以MN、4PF、长轴长为边长可以构成长轴长为最大边的钝角三角形， 设MN=x，于是有x+2ex>2a，x2+（2ex）2<（2a）2 ？圯x∈，， 由于焦点弦长的范围是，2a，于是，∩，2a≠， 所以<，即（1+4e2）（1-e2）2<1，解得e2>，于是m<. 分析：PF=MN是圆锥曲线中一个已知的结论，证法很多. 但如果学生按照上述解法来求解，那就考查了弦长问题、中垂线问题、解三角形问题、存在性问题，还得注意观察式子之间的联系，对学生的思维要求较高. 利用已知结论考出新意，不失为压轴题的一种可以借鉴的出题方法. |
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