| 标题 | 2017年新课标高考平面向量试题分析及教学思考 |
| 范文 | 彭锋 陈勇 王红敏 [摘 要] 对2017年各地高考数学试卷中的平面向量试题的题型、分值、知识点和难度及试题特点进行了分析，在此基础上提出了平面向量的教学思考. [关键词] 2017年高考；平面向量；试题分析；教学思考 《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）指出，向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数与几何的一种工具，有着极其丰富的实际背景，常與其他数学知识紧密相连. 命题者依据《课标》的要求，把平面向量作为考点进行命题，考查考生对高中数学的基础知识、基本技能的掌握和熟练程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平. 本文对2017年新课标高考数学试卷（上海卷除外）中平面向量试题的考查特点进行分析，并提出平面向量的教学思考. 各地区试卷对平面向量考查的题型、分值、知识点和难度统计 从表1可以看出，2017年高考数学对平面向量知识的考查题目个数分布是8套试卷1题、5套试卷2题、1套试卷3题，差异不大. 从题型的角度看，选择题在6套试卷中出现了平面向量题，分值为4或5分；填空题在10套试卷中出现平面向量题，分值为5或6分；全国Ⅱ卷文理科、江苏卷、山东卷文科出现了与解答题有关的平面向量题，分值为12或14分. 总之，虽然2017年高考平面向量在选择题、填空题与解答题均有涉及，但还是以选填题为主. 从新课标全国卷和自主命题试卷来看，平面向量在14套试卷的选、填空题方面都有出题，且江苏卷出现了2道填空题，浙江卷出现了一道选择题和一道填空题. 不管是新课标全国卷，还是自主命题卷，几乎都是以小题的形式考查. 从文理科卷来看，文科卷共有14题，总分为93分，占每套试卷分值的4.41%；理科卷共12题，总分为76分，占每套试卷分值的3.60%，可见，平面向量知识虽然在高考中占的比例较少，但每年都是必考题，因此是高考数学考查的重要内容之一. 从试题的难度看，大部分试题难度为易，主要考查基础知识和基本技能，以直接应用为主，北京卷文理、天津卷文理、江苏卷出现了中档题，全国Ⅱ卷文理、全国Ⅲ卷理、江苏卷、浙江卷中出现了较难的题. 从平面向量的考点分布看，2017年平面向量主要考查了平面向量的基本概念，平面向量的线性运算，平面向量的基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，利用平面向量研究夹角、距离、平行和垂直，平面向量的应用等. 结合《2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲》对平面向量考查的要求[1]，发现对于考纲中要求的，2017年高考几乎都有涉及，但向量的投影未直接涉及，应引起重视. 各地区试卷对平面向量知识考查的试题特点分析 1. 以考查向量的基本概念、基本性质及坐标运算为主 《课标》中明确写道：“通过实例，掌握向量加、减法运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；能用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系”[2]，而2017年的平面向量考题命题者正是按照《课标》的要求重点考查了平面向量的模，平面向量的加、减运算，平面向量的平行与垂直，平面向量的数量积，向量的夹角公式等. 例1 （全国Ⅰ卷理13）已知向量a，b的夹角为60°，a=2，b=1，则a+2b=________. 解：a+2b2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4×12=12，所以a+2b=2. 评注：本题主要考查了向量模的基本性质，还考查了数量积. 例2 （全国Ⅰ卷文13）已知向量a=（-1，2），b=（m，1）. 若向量a+b与a垂直，则m=________. 解：由题得a+b=（m-1，3），因为（a+b）·a=0，所以-（m-1）+2×3=0，解得m=7. 例3 （全国Ⅲ卷文13）已知向量a=（-2，3），b=（3，m），且a⊥b，则m=______. 解：由题意得-2×3+3m=0？圯m=2. 例4 （山东卷文11）已知向量a=（2，6），b=（-1，λ），若a∥b，则λ=_______. 解： -6=2λ？圯λ=-3. 评注：平面向量数量积是研究垂直、平行、向量夹角、投影的重要途径，是考查重点.例2、例3、例4都从坐标的角度考查了向量垂直、平行. 例5 （全国Ⅱ卷文4）设非零向量a，b满足a+b=a-b，则（ ） A. a⊥b B. a=b C. a∥b D. a>b 解：法1：从数的角度，由a+b=a-b平方得（a）2+2a·b+（b）2=（a）2-2a·b+（b）2，即a·b=0，则a⊥b，故选A. 法2：从形的角度，a+b，a-b分别表示以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线对应的向量，可得答案A. 评注：法1运用了向量模的基本性质，法2运用了向量加、减运算法则，这正体现了向量既有大小又有方向，是集数与形于一身的数学概念. 例6 （北京卷理6文7）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m·n<0”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：若λ<0，使m=λn，即两向量方向相反，夹角是180°，那么 m·n=mncos180°=-mn<0，反过来，若m·n<0，那么两向量的夹角为（90°，180°] ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m=λn，故选A. 评注：本题以命题的形式出现，重在考查向量的数乘、数量积与充分必要条件，题虽小，但思维容量大. 例7 （山东卷理12）已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解：（e1-e2）·（e1+λe2）=e12+λe1·e2-e1·e2-λe22=-λ， e1-e2===2， e1+λe2===， 所以-λ=2××cos60°=，解得：λ=. 评注：本题考查了向量的数量积、模、夹角公式. 其实本题考查的意图是把e1，e2当作一组基，平面内的任一向量都可以用这组基来表示. 另外，还可以令e1=（1，0），e2=（0，1）来解决此题. 例8 （浙江卷16）已知向量a，b满足a=1，b=2，则a+b+a-b的最小值是________，最大值是________. 解：法1：设向量a，b的夹角为θ，由模长公式得： a+b==， a-b==， 则a+b+a-b=+. 令y=+， 则y2=10+2∈[16，20]，所以4≤y≤2，即a+b+a-b的最小值是4，最大值是2. 法2：如图1，令a==（1，0）， b==（2cosθ，2sinθ）， a+b=+=+=， a-b=-=，所以a+b+a-b表示M（2cosθ，2sinθ）到A（-1，0），B（1，0）的距离之和. 由法1知当M在P（0，2）时， a+b+a-b的最大值为2；当M在Q（2，0）时，a+b+a-b的最小值为4. 法3：同法1，令μ=5+4cosθ（1≤μ≤9），所以y=+. 因为μ+（10-μ）=10，可设=·cosα，=sinα， 且≤cosα≤，从而y=cosα+sinα=2sinα+. 又当cosα=时，sinα=， y=×+×=4； 当cosα=时，sinα=， y=×+×=4； 当α+=，即α=时，y=2.所以4≤y≤2，即a+b+a-b的最小值是4，最大值是2. 法4：令a+b=x，a-b=y，由a-b≤a±b≤a+b得1≤x≤3，1≤y≤3. 又a+b2+a-b2=2（a2+b2）=10，所以原命题转化为“已知x，y满足约束条件x2+y2=10，1≤x≤3，1≤y≤3，①，求x+y的取值范围”，而①表示如图2所示的劣弧AB. 令z=x+y，由简单的线性规划知识得当直线l：y=x-z平移到l1时，x+y取得最小值4；当l：y=x-z平移到l2即与劣弧AB相切时，x+y取得最大值2. 评注：本题主要考查了向量的模长公式与函数最值.法1、法3利用模长公式从函数的角度求得最值，但函数解析式含双根号；法2从几何的角度给法1的代数方法一个完美的解释；法4利用了绝对值的三角不等式，再结合简单的线性规划进行处理，但思维要求较高. 2. 关注一个能编网的定理——平面向量基本定理 在中小学的数学学习的内容中，能被命名为基本定理的只有三个：平面向量的基本定理、空间向量的基本定理、微积分基本定理.其中必修内容中只有平面向量基本定理，后两者也只出现在选修教材中，可见平面向量的基本定理在学生的数学学习中及学生进入高等院校后都有重要作用，因此是每年高考常考内容之一. 这个定理给我们的启示是平面内的所有向量都可用基底表示，基底把不同的向量串联起来，每个向量都存在于一个系统之中，犹如编织了一个网[3]. 例9 （全国Ⅱ卷理12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·（+）的最小值是（ ） A. -2 B. - C. - D. -1 解：法1（基底法）设=x+y，所以=+=-x-y+=（1-x）·-y，所以·（+）=2·= -2·=-2[（1-x）-y]（x+y）=-2[x（1-x）2+（1-x）y·-xy·-y22]=-2[3（1-x）x-y2]=6x2-6x+2y2=6x-+2y2-，所以当x=，y=0时，·（+）最小值为-. 法2（坐标法）如图3，以BC的中点O为坐标原点，BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0），A（0，）. 设P（x，y），从而·（+）=（-x，-y）·（-2x，-2y）=2x2+2y2-2y=2x2+y--. 当P0，时，·（+）最小值为-. 评注：平面向量的基本定理提供了解决向量问题的一个基本思路，即选择两个不共线的非零向量作为基底，将向量用基底线性表示，再通过向量的运算求解问题.此题法1就是利用平面向量的基本定理选择，为基底，将向量，，表示出来，问题就不难解决了，此处运用的是向量的符号语言.此外我们也可以建立直角坐标系，目的是选择单位正交基底，将题中的点用直角坐标表示出来，再通过代数运算求解. 一般来说便于建立坐标系时我们通常可运用向量的坐标求解，过程是便于操作的. 类似的问题，如全国Ⅲ卷理12，天津卷理13、文14，江苏卷12都有涉及，以下便是其解法. 例10 （全国Ⅲ卷理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上. 若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 2 解：法1（坐标法）如图4所示. 设BD与⊙C切于点Q，连接CQ. 以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为（2，1）. 显然QC==，即⊙C的半径为. 因为P在⊙C上，所以P点的轨迹方程为（x-2）2+（y-1）2=. 设P点坐标（x0，y0），则P点坐标满足的参数方程为x0=2+cosθ，y0=1+sinθ， 而=（x0，y0），=（0，1），=（2，0）. 因为=λ+μ=λ（0，1）+μ（2，0）=（2μ，λ）， 所以μ=x0=1+cosθ，λ=y0=1+sinθ. 两式相加得： λ+μ=1+sinθ+1+cosθ=2+sin（θ+φ）=2+sin（θ+φ）≤3. （其中sinφ=，cosφ=），所以λ+μ取得最大值3. 法2（基底法） 显然=4，=+=+=+（-）=+， 所以=-=λ+μ-+=λ-+μ-. 又=--， 所以=+=--+λ-+μ-=（λ-1）+（μ-1）， 所以·=[（λ-1）+（μ-1）]·-- =-（λ-1）2-（μ-1）2= -（λ+μ）+， 而·=×cos〈，〉≥-， 所以-（λ+μ）+≥-，即λ+μ≤3，故λ+μ取得最大值3. 例11 （天津卷理13、文14）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2.若=2，=λ-（λ∈R），且·=-4，则λ的值为______. 解析：法1（坐标法）建立如图5所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（1，），所以=（3，0），=（1，）. 又=+=（3，0）+（1，）=，，=λ（1，）-（3，0）=（λ-3，λ），所以·=（λ-3）+2λ=-4？圯λ？芊. 法2（基底法）·=3×2×cos60°=3，=+ ， 则 ·=+·（λ-）=×3+×4-×9-×3=-4？圯λ=. 例12 （江苏卷12）如图6，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°. 若=m+n（m，n∈R），则m+n=______. 解析：法1（基底法）由tanα=7可得sinα=，cosα=，所以cos（α+45°）=-， 从而·=，·=1，·= -. 又·=·（m+n），·=·（m+n）， 所以=m-n，1=-m+n，解得m=，n=，故m+n=3. 法2（坐标法）以O为原点，方向为x轴正方向建立直角坐标系， 则A（1，0），C，，B-，，因为=m+n，所以，=m（1，0）+n-，， 所以m-n=，n=，解得m=，n=，故m+n=3. 3. 关注知识间的交叉命题 因为兼具数与形的双重身份，平面向量经常承载着代数与几何沟通的纽带功能，所以高考数学经常以平面向量为载体和沟通媒介，成为数学的一个重要的知识交汇点.2017年平面向量从下列几种形式交叉命题. （1）与逻辑推理判断交汇.如北京卷理6文7，此题只需知道充分必要条件的概念，其考查的主干知识还是平面向量. （2）与三角函数知识交汇. 通常是借助平面向量的语言表述三角函数式之间的关系，其实质是三角函数问题；另一种就是用三角函数知识解决平面向量问题，如江苏卷16，浙江卷10，山东卷文17. （3）与解析几何知识交汇. 通常平面向量知识只是给出几何量的位置和数量关系，即以平面向量知识作为条件呈现，或在解题时利用平面向量的思想和方法解决问题，从而体现向量的工具作用，如全国Ⅱ卷文理20、北京卷文12、江苏卷13. 例13 （北京卷文12）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（-2，0），O为原点，则·的最大值为_________. 解： 法1：·=·cosθ≤·≤2×（2+1）=6，故最大值是6. 法2：设P（x，y），=（2，0），=（x+2，y），所以·=2x+4，又-1≤x≤1，故·的最大值为6. 例14 （江苏卷13）在平面直角坐标系xOy中，A（-12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是______. 解：设P（x，y），则=（-12-x，-y），=（-x，6-y）， 所以·=50+12x-6y≤20，即2x-y+5≤0. 由2x-y+5=0，x2+y2=50，得x=-5，y=-5，x=1，y=7， 又由2x-y+5≤0表示的平面区域，及P点在圆上，可得点P横坐标的取值范围为[-5，1] 例15 （江苏卷10）如图7，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=·，I2=·，I3=·，则（ ） A. I1 所以=？圯==sin（α+θ）. 又（90°-θ）+α+45°=180°？圯α=θ+45°，所以=sin（2θ+45°）. 又45°<2θ+45°<135°，所以>×=1？圯OD>OB. 所以I1-I3=cosβ-·cosβ=（-）·cosβ>0，从而I1>I3；I2-I1=（-）=（t）（t>0）=tcosα， 又45°<α=θ+45°<90°，所以I2-I1>0？圯I2>I1，故选C. 评析：例13、例14是平面向量與圆交汇，例15是平面向量与解三角形交汇，通过平面向量的坐标表示，将平面向量问题转化为代数问题，既考查了圆的知识和方法，又考查了平面向量的基本方法，充分体现了与其他知识内容融会贯通，揭示了数学中化归思想的深刻内涵.解决此类问题有时需将平面向量坐标化，从而转化为代数问题，但有时需要反其道而行，将平面向量几何化，直接分析其几何背景，两种方法各有千秋，都需认真理解. 类似思想的解答题如全国Ⅱ卷文20理20、江苏卷16、山东卷文17，这里不再叙述. 平面向量教学思考 根据以上分析，不难发现，高考题对平面向量的考查主要是围绕向量的基本概念、基本运算和运用向量研究夹角、距离、平行和垂直等，但有的试题与其他方面的知识相结合，对于学生灵活运用向量知识解决问题的能力在不断加强.因此在平时的教学中： 1. 注重向量基本概念与运算 2017年高考数学中的平面向量题目，紧扣考纲考查向量的基本概念与运算，虽然试题千变万化，但都以基础知识、基本能力、基本思想、基本活动经验为基础. 所以在教学中，要以课标为基础，围绕教科书，紧扣考纲，对重点内容重点复习，夯实基础知识. 2. 注重向量思想方法 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，使得与向量有关试题的呈现方式丰富多彩，表达问题和解决问题的方式灵活多样. 在平时教学中要建立向量及其运算与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，特别注重数形结合思想、转化与化归思想的应用，包括将几何关系转化为向量关系，再通过向量的坐标转化化归为函数解析关系，最后通过运算结果转化为几何关系. 3. 注重向量的平面几何意义 向量既有形的特征又有数的特点，一般解决平面向量问题都会首先联想到平面向量的几何意义，特别是向量加法的平行四边形和三角形法则. 此外还要掌握运算法则、共线向量定理等几何意义，常见的数量积为零联想到垂直，不共线的单位向量的和联想到角平分线、菱形，不共线的两向量和的一半联想到三角形的中线等. 由数联想到平面几何形的特征，通过有效转化进而解答问题. 4. 注重向量知识的交汇 平面向量考查除了综合平面向量基本定理、数量积等内部知识外，还与三角函数、解三角形、解析几何、不等式、数列等知识的交汇处设计综合问题. 教师在平时的教学中要加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路.向量既是代数的对象，又是几何的对象.作为代数对象，向量可以运算；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的夹角可以与三角函数发生关系，利用向量的模可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题.教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习向量. 参考文献： [1] 教育部考试中心. 2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验）[M]. 北京：高等教育出版社，2017. [2] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[M]. 北京：人民教育出版社，2003. [3] 杨平，赵青，张玉兰. 观2013年各地向量考题，说2014年向量復习建议[J]. 中学数学杂志，2013（11）：46—48. [4] 张定强，闫佳洁. 2016年全国高考试卷中“数列”试题分析[J]. 中学数学（高中版），2016（11）：21—23. |
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