| 标题 | 关于不定方程组ax2+by2+cz2=d（a，b，c，d同号）Ax+By+Cz=D的完全解 |
| 范文 | 张志华 余隆兰 [摘 要] 文章先从不定方程的一个特例入手，借助向量的工具进行处理得到唯一解，这启发我们去思考其几何意义：平面与球面相切，切点是唯一一个交点，其坐标即为方程组的解. 在此基礎上进行变换与推广，就得出了一类不定方程组ax2+by2+cz2=d（a，b，c，d同号），Ax+By+Cz=D的完全解. [关键词] 不定方程；向量法；完全解 一些数学问题经过转化，最终可变成三元二次方程ax2+by2+cz2=d在限制条件Ax+By+Cz=D下解的情况，即求解不定方程组ax2+by2+cz2=d，Ax+By+Cz=D，所以有必要对这类方程组加以深入研究. 若给出一个限制条件：a，b，c，d同号，我们便能得到其完全解. 一个特例 先从一个特例入手：求解方程组x2+y2+z2=，①-8x+6y-24z=39.② 分析：咋一看，三个未知数两个方程，未知数的个数多于方程的个数，似乎解不出来.若我们采用消元的思想，将②式变形为z=-x+y-，代入①式，再往下计算也极其烦琐，而且未必解得出来. 那是否我们就束手无策了呢？ 仔细一琢磨，我们从①②两式的几何意义入手，①式表示以原点为球心、半径为的球面，②式表示空间中的一个平面. 这样我们很容易联想到借助向量方法来处理. 解析：设a=（x，y，z）为方程组的任意一组解（向量表示式）， b=（-8，6，-24）（表示平面的法向量）， 则a·b=-8x+6y-24=39 另一方面，a·b=a·b·cosθ =··cosθ =39cosθ（θ为向量a，b的夹角）， 所以39cosθ=39，cosθ=1. 注意到θ∈[0，π]，故θ=0. 从而a与b共线，则存在非零实数t∈R，使得===t， 即x=-8t，y=6t，z=-24t，代入②，即得t=，x= -，y=，z=-. 验证知x=-，y=，z=-是方程组的解. 反思：未知数的个数多于方程的个数，但却只有唯一的解，这意味着什么呢？联想到两个方程的几何意义，只有这样一种情况：平面与球面相切，切点是唯一一个交点，其坐标即为方程组的解. 我们只需检验球心O（0，0，0）到平面π：8x-6y+24z+39=0的距离ρ是否等于球的半径r即可，ρ===r，ρ果然恰好等于r！这样方程组的解为x=-，y=，z=-，是十分容易理解的了. 那么，若ρ不等于r时结果又如何呢？受到上述思路的启发，我们易知：若ρ>r，此时平面与球面相离，二者无交点，方程组无解；若ρ 回到文章开始提出的问题，有上述特例做基础，我们就可以迎刃而解了.处理的思路如下：不妨设a，b，c，d>0，否则，只需方程两边同乘以（-1），就转化成上述情况.先做伸缩变换x′=x，y′=y，z′=z，原方程组就变成（x′）2+（y′）2+（z′）2=d，x′+y′+z′=D， 再令A′=，B′=，C′=，问题即转化为我们熟悉的模型（x′）2+（y′）2+（z′）2=d，A′x′+B′y′+C′z′=D（？鄢）. 以下我们先考虑球心O′（0，0，0）到平面π：A′x′+B′y′+C′z′-D=0的距离ρ=与半径r=的关系，以此作为分类讨论的标准. （1）若ρ>r时，平面与球相离，方程组（？鄢）无解，从而原方程无解； （2）若ρ=r时，此时平面与球相切，二者有唯一交点即切点，方程组（？鄢）有唯一解，可参照类似特例的方法，采用向量工具来处理，可得方程组（？鄢）的唯一解为x′=，y′=，z′=，从而原方程组的解为x=，y=，z=， 即x=，y=，z=； （3）若ρ 以下我们来确定此圆的圆心P（xP，yP，zP）. 注意到向量（xP，yP，zP）与平面π的法向量n（A′，B′，C′）共线，故存在非零实数t∈R，使得xP=A′t，yP=B′t，zP=C′t，再在平面π：A′x′+B′y′+C′z′=D上任取一点Q（x0，y0，z0）（x0，y0，z0只需满足A′x0+B′y0+C′z0=D即可），则（xP-x0，yP-y0，zP-z0）与n（A′，B′，C′）垂直，从而·n=0，即A′（xP-x0）+B′（yP-y0）+C′（zP-z0）=0. 故 因此方程组（？鄢）的解表示平面π上的以P（xP，yP，zP）为圆心，半径为 r′=的一个圆，即（x′-xP）2+（y′-yP）2+（z′-zP）2=（r′）2，A′x′+B′y′+C′z′=D. （其显式可由球面的参数方程给出，但较为烦琐，本文限于篇幅，不详加探讨）.从而原方程组的解表示的是以P，，为中心，三条主半轴长分别为，，的椭球面与平面π的交线，即为椭圆++=1，Ax+By+Cz=D. 至此，已给出了此类方程组ax2+by2+cz2=d（a，b，c，d同号），Ax+By+Cz=D的完全解. |
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