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解析根的判别式在数学竞赛中的应用

范文

柳汉伟

【摘要】根的判别式是二次函数的重要知识点，其不仅可以判断二次函数根的情况，而且还能用来分析二次函数的图像，尤其在数学竞赛中的应用可高效解答相关题目.为使学生深入理解，牢固掌握根的判别式，在竞赛中能灵活应用，取得理想成绩.本文结合相关竞赛试题，就如何应用根的判别式进行探讨，以供参考.

【关键词】高中数学;根的判别式;竞赛;应用

众所周知，高中数学竞赛试题具有一定难度，对根的判别式的考查较为灵活，因此，教学中应注重对学生加以引导，积极联系所学，具体情况具体分析，避免思维定式，争取迅速找到解题的突破口.

一、在求取值范围中的应用

根据题干求某一参数或某一数学式的取值范围是竞赛中的常见题型，难度较大.解题需认真分析要求解的参数或数学式，进行巧妙换元，构造一元二次方法.使用根的判别式进行求解.为使学生能够熟练掌握这一题型的解题思路，感受根的判别式在解题中的妙用，应筛选经典例题，详细板书解题过程，给学生进行良好的示范，使学生能够从中获得启发，抓住问题本质，做到灵活应用.

此题是函数中中规中矩的问题，可以从正向利用根的判别式求解参数，在实际应用中，不能够直接使用Δ≥0，需要讨论函数对称轴与x=-1的位置关系，再开展相应的分类讨论活动.在解题过程中，根据题目构造新的函数，g（x）=f（x）-k=x2+（2-k）x+3-k，可以得出其对称轴，则题目可以转化成：当x>-1时，g（x）≥0恒成立.之后根据相应的情况开展分类讨论，对两种讨论情况进行总结，最终确定k的取值范围.

二、在求解方程中的应用

根的判别式与一元二次方程联系紧密.众所周知，当Δ≥0时，可使用求根公式直接求解.但數学竞赛中涉及的方程问题往往有两个参数，给出的关系式却只有一个，显然采用传统方法无法求解.这就需要根据所学找到另外的关系式.求解时可采用根的判别式求得其中一个参数，而后将其代入题干，便可解出方程.教学中为使学生感受具体解答过程，正确运用根的判别式解题，可讲解相关例题.

三、在不等式证明中的应用

不等式是高中数学重要的知识点，相关题目的证明方法较多.但竞赛中的不等式证明题目较为新颖，采用传统方法很难切入，需要学生联系所学，进行巧妙转化.其中根的判别式是一种证明方法.很多学生对该证明方法较为陌生，为使学生能够熟练掌握，教学中结合具体例题，对学生进行积极引导，提高应用根的判别式证明不等式的意识，不断提高解题能力.

四、在函数中的有效应用

高中数学课堂中，函数是重要的教学内容，和其他数学知识有着密切的联系，贯穿整个高中数学教学，是高考数学和数学竞赛中的重要考点.判别式是一种有效的解题方式，借助判别式完成问题的思考和解答，能降低函数问题解题难度，有效解决函数问题，保证学生解题效果和质量.因此，在实际的解题过程中，需要对函数问题进行分析，有效利用判别式解题，有效解答数学问题.

因此，在函数问题中，需要根据函数和方程的关系，结合函数构建相应的方程，对函数的结构特征进行分析，转化成关于x的一元二次方程，使得等式成立，结合其中的隐含条件，判断出y的取值范围，利用判别式完成解题，从而有效解答数学竞赛题目.

五、在数列中的有效应用

高中数学课堂中，数列是重要的教学内容，知识内容较为抽象，题目类型和变化比较多，在解题的过程中，需要对数列题目进行分析，采取有效的课堂教学方式，有效解决数列问题.在实际的解题中，通过对数列题目进行分析，灵活利用根的判别式，实现等式和不等式的连接，将问题转化成方程或者不等式，准确把握问题的解题关键.

在此题解答的过程中，公差d是等式和不等式联系的重要条件，对d设而不求，通过d将其转化成关于a1的一元二次不等式，准确把握问题的解题关键，从而有效解决数学问题.

六、在解几何问题中的应用

高中数学教学中，立体几何和解析几何是重要的数学问题，也是学生解题中的难点，对学生数学思维有着一定的要求，在实际解题中有着一定的难度.因此，对于解析几何问题，需要对问题进行分析，结合题目类型特点，灵活利用根的判别式，明确问题的解题思路，有效解答数学竞赛题目.

在此种类型问题的解题中，根据抛物线的对称性，进行假设构建相应的方程，利用判别式进行求解，引入新的思维方式，提高学生解题能力和创新能力.

七、结论

根的判别式是解答高中数学问题的重要工具，因此，教学中既要认真讲解，又要注重拓展学生的视野，使其感受根的判别式在竞赛试题中的应用，不断提高竞赛试题解题技巧.本文通过研究得出以下结论：一、做好竞赛试题中有关根的判别式题型的汇总，教学中精讲有代表性的试题.二、针对根的判别式在解题中的每一种应用，对学生进行专题训练，使学生在训练中加深印象，积累相关经验，在遇到类似竞赛试题时能够迅速找到解题方法，实现高效、正确解题.

【参考文献】

[1]方志平.根的判别式在数学竞赛中的妙用[J].高中数学教与学，2018（21）：43-44，22.

[2]申楠.判别式法在高中数学中的应用[J].纳税，2017（23）：174.

[3]袁亚平.运用一元二次方程根的判别式解数学竞赛中的最值问题[J].数理化学习（初中版），2009（3）：22-23.

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