| 标题 | 一种普通噪声转换为高斯白噪声的无机自适应算法 |
| 范文 | 摘 要： 使用经典回归分析对信号处理时通常假定噪声服从高斯过程，然而现实中许多信号呈现噪声自相关等非平稳特性。常用的广义差分法对噪声自相关做差分处理时，固定了连续两个样本间的相关系数，但是现实中相邻两个时间点样本的相关程度往往不是确定的。将矢量三角形加减法法则与广义差分相结合，开创性地提出具有无机自适应性的矢量差分算法，其相关系数根据信号自身的规律自动调整。最后，将该方法应用于噪声自相关实例，结果表明矢量差分算法比广义差分法的无机自适应能力更强，能够更好地刻画信号的变化规律。 关键词： 无机自适应算法； 噪声自相关； 矢量差分； 系数自动调整 中图分类号： TN911?34； TP18 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2015）14?0016?04 一个离散的时间序列就是一个离散的时间信号。在两个时间序列数据的回归分析中，通常假设残差噪声在不同时点之间是不相关的。然而在现实问题的研究中，不少时间序列随着时间的推移有一种长期趋势，呈现信号不平稳的特性。对这样的两列信号建立回归模型时，残差之间的相互独立性就会遭到破坏，噪声之间存在依赖性，用此模型进行预测和结构分析就会有较大的误差。这时就需要用一定的方法对其进行补救，国内外学者对噪声自相关问题的处理和研究主要是差分法。当自相关系数已知时，通常采用广义差分法对信号进行处理，消除噪声序列的自相关性。但在实际数据中，自相关系数一般是未知的，所以需要对其进行估计。Cochrane和Orcutt于1949年提出了Cochrane?Orcutt迭代法，通过逐步迭代，提高自相关系数的近似估计精度直到满意为止，再采用广义差分法[1]。1960年Durbin提出了Durbin两步法，即将数据进行两次广义差分变换处理，再使用OLS法估计参数，其优点是只要样本容许，可以修正任意阶自相关[2]。张荷观提出根据自回归分布滞后模型直接建立样本回归方程的方法[3?4]，并给出自相关系数的估计，改进了估计量的统计性质并提高了拟合优度。无论是差分法还是迭代法，它们都将信号样本点间的相关系数固定，然而现实中相邻两期样本点的相关程度往往不是固定的。为克服广义差分法固定相关系导致构建的模型泛化能力较弱的缺点，本文将矢量三角形加减法法则与广义差分方法相结合，开创性地提出了基于相关系数可自动调整的无机自适应算法——矢量差分方法。这种无机自适应算法与有机智能算法是不同的，现有的智能算法处理的大多是多变量、非线性的复杂系统，对单变量、线性信号系统的建模效果较差[5]。智能算法在对目标函数进行优化搜索时强调整体最优，这样就会造成瞻前顾后，不能保证预测效果最优，而人们往往希望用于预测和分析的后期时间点最优。本文提出的矢量差分算法是对输入信号进行优化搜索，在强调当期对近期依赖性的同时保证了当期与远期的相互关联性。 本文介绍了矢量差分的方法原理、矢量差分的一般公式和矢量差分算法的无机自适应性；最后用噪声自相关的离散时间序列做实验，结果表明矢量差分算法模型比广义差分法的无机自适应能力更强，能够更好地刻画信号的变化规律。 1 矢量差分的方法原理 矢量差分是按照三角形减法法则进行的。在圆里面将矢量由最低点出发依次排列，连续两期样本点之间根据矢量模的大小就形成了不同的夹角。这样在圆里面就实现了信号样本点自相关系数在各点的自动调整。 1.1 矢量差分的原理 在三角形[OA1A2]中，矢量减法法则为：[A1A2=OA2-OA1]，其中[A1A2]反映了矢量差，如图1所示。 图1 圆中三角形的矢量差分方法 下面按照张昴等提出的在直径为1的圆中进行矢量差分推导的方法，给出矢量差分[A1A2]的数值[6]。在圆[M]中，取直径[OO′=1]，令从点[O]出发任意一条弦[OA]的弦切角（与水平线的夹角）为[α]。根据弦切角定理：弦所对的圆周角的大小等于弦切角，则有[∠OO′A=α]；即可得出，在直角[ΔOO′A]中，[OA=sin α]，即任意圆周角[α]对应弦的弦长为[sinα]。于是标准化转换到[0，1]区间两期数据间的矢量差为[A1A2=sin（α2-α1）]。下面结合广义差分法给出矢量差分的一般形式。 1.2 矢量差分公式推导 在消除残差噪声自相关时，由于广义差分法将相关系数固定，所以扭曲了信号的变化规律。本文将矢量差分算法可以自动调整相关系数的特性运用到广义差分法上，从而实现两个连续样本点相关系数的调整。 在圆里的矢量差分的代数形式为： [At-1At=sin（αt-αt-1）] 而广义差分的代数本质如下式所示： [xt-ρxt-1=sinαt-ρsinαt-1 =sin（arcsinxt）-ρsin（arcsinxt-1）] 本文提出一般矢量差分公式： [xt-xt-1=sin（arcsinxt）-sin（ρ（arcsinxt-1））] 比较广义差分法[xt-ρxt-1]，矢量差分的一般公式为： [xt-ρsin（arcsinxt-1）=xt-ρtxt-1] 进而，在实现广义差分的同时，保证了相关系数的自动调整。根据线性系统输入输出信号响应分析的一般步骤[7]，其原理图如图2所示。 图2 矢量差分处理器 1.3 矢量差分的优点：相关系数的自适应调整 由于[xn-ρxn-1=OAn-ρOAn-1=An-1An]，则有[ρ=OAn-An-1AnOAn-1=sinαn-sinΔαnsinαn-1]，其几何形式见图3。 图3 自相关系数的自适应调整 首先，对其进行极限分析。当两期指标非常接近时，[limΔαn→0ρ=sinαnsinαn-1=1]。 然后，任取[OAn-1=][sinαn-1，][ρ∝OAn-An-1An=sinαn-sinΔαn=sinαn-][sinαn-αn-1]。令[OAn]增大角度[θ]，则有[ρ′∝sin（αn+θ）-sin[（αn+θ）-αn-1]=sin（αn+θ）-][sin[（αn-αn-1）+θ]]。注意到，正弦函数[y=sinx]在区间[（0，π2）]的二阶导数小于0，随着自变量[x]的增加[y]的增加越来越缓慢。那么当角[αn]和[（αn-αn-1）]同时增加[θ]时，[（αn-αn-1）]对应的函数值增加的更大，即有[sin（αn+θ）-sinαn 2.1 一阶残差噪声自相关 例1：在研究我国城镇人均支出和人均收入两列离散信号之间关系的问题中，记输出信号城镇家庭平均每人全年消费性支出（元）为y，输入信号城镇家庭平均每人可支配收入（元）为x。 这里收集到1990—2009年20年的信号样本点[8]如表1所示，试检验残差噪声是否存在一阶自相关，建立相应的线性映射方程并做响应分析。 表1 我国城镇人均收支表 2.1.1 直接对输入信号和输出信号做线性映射回归 根据归一化公式： [x′=x-xminxmax-xmin] （1） 将两列信号样本数据映射到[0，1]区间进行标准化处理。将输入信号x和输出信号y进行线性映射回归拟合，得映射回归为：[y=0.021+0.996x]。 此方程的调整R2为0.998。经检验[DW=0.300]，[dL=1.200]，[dU=1.410]，[0.300 分别对输入信号x和输出信号y的原始样本点进行转换，即[xt′=xt-0.85xt-1]，[yt′=yt-0.85yt-1]。再次进行回归拟合，得到：[yt′=0.009+0.954xt′]。 新回归方程的调整R2为0.990，残差的[DW=2.327]，[dL=1.18]，[dU=1.40]，[dU<2.327<4-dU]，因而[DW]落入无自相关区域[10]。 2.1.3 对输入信号和输出信号做矢量差分处理 对输入信号x和输出信号y分别进行矢量差分，差分得到的信号分别表示为[x*]和[y*]，则为[y*]对[x*]的线性映射为：[y*t=0.007+0.975x*t]。此时调整R2为0.996，残差的[DW=2.301]，[dU<2.301<4-dU]，残差噪声已经消除了自相关。 2.1.4 信号间响应分析 经过一阶广义差分法处理后有效数据样本点是19个，基于[DW]检验要求数据样本量大于15，对信号进行4步预测，并作响应分析。以用前16个样本值构线性映射，预测第17个样本值为例进行详细说明。本文使用[w=y-yy]作为预测误差计算公式。 （1） 用前16个样本量进行广义差分构建的滞后回归方程为： [yt-0.624 0yt-1=0.005 8+1.038 9（xt-0.624 0xt-1）] 还原线性映射为： [yt-0.624 0yt-1=130.731+0.728 6（xt-0.624 0xt-1）] 带入样本预测2006年城镇家庭平均每人全年消费性支出为8 884.42 726元，实际值为8 696.55元，误差[w]为2.16%。 （2） 用前16个样本量进行矢量差分构建的滞后回归方程为： [sin（arcsinyt-0.624 0arcsinyt-1）=0.005 3+ 1.048 9sin（arcsinxt-0.624 0arcsinxt-1）] 还原线性映射为： [sin（arcsiny-yminΔy-0.624 0arcsinyt-1-yminΔy）=0.005 3+1.048 9sin（arcsinx-xminΔx-0.624 0arcsinxt-1-xminΔx）] 输入信号x在2006年的数值，输出2006年城镇家庭平均每人全年消费性支出为8 858.609 67元，实际为8 696.55元，误差[w]为1.86%。按照这种方法，2007年，2008年和2009年的城镇家庭平均每人全年消费性输出值可以依次求得，误差结果见表2。 表2 一阶噪声自相关预测误差 % 可见矢量差分算法的预测值全部显著高于广义差分法，凸显其具有可自动调整的无机适应性的优越性，较好地刻画了信号变化规律。 2.2 高阶残差噪声自相关 例2：在研究我国人均消费水平的问题中，记输出信号全国人均消费金额（元）为y，输入信号人均国民收入（元）为x。收集到1980—1998年19年间的信号样本点[8]如表3所示，试检验残差噪声是否存在一阶残差噪声自相关，建立相应的线性映射方程并做响应分析。 表3 全国人均收支表 2.2.1 直接对输入信号和输出信号做线性映射回归 将两列信号样本数据按照式（1）标准化到[0，1]区间。建立映射回归如下所示： [y=0.013+0.984x] 调整R2为0.999。计算出[DW=0.873，][dL=1.18 ， 0.873 对输入信号x和输出信号y广义差分法处理后进行回归拟合，新回归方程残差的[DW=1.372]。此时[dL=1.16]，[dU=1.39]，[dL<1.372 2.2.3 对输入信号和输出信号做矢量差分处理 一阶矢量差分处理[DW]值为1.400，发现[dL<1.400 [y**=0.04+1.005x**] 由此可见矢量差分算法改进估计量的统计性质，提高映射回归的拟合优度及系数检验的显著性。 2.2.4 信号间响应分析 二次差分处理后有效数据样本量是17，基于[DW]检验要求数据样本量大于15，对模型进行2步预测，并做相应分析，误差结果如表4所示。 表4 高阶噪声自相关预测误差 % 由表4可以看出两年的矢量差分预测误差均明显低于广义差分。进一步论证了矢量差分在高阶残差噪声自相关无机适应性能力的优越性，较好地刻画了信号变化规律。 2.3 结果分析 通过一阶残差噪声自相关和高阶残差噪声自相关实例，分别利用广义差分法和矢量差分法消除序列自相关并进行响应分析。可以发现，无论是在拟合优度，还是在预测效果上，矢量差分方法都远远好于一般的广义差分方法。从而论证了相关系数可以自动调整这一无机适应性能力的优越性。 3 结 语 本文提出将矢量三角形加减法法则与差分相结合所构建的矢量差分方法在处理残差噪声自相关异常问题时，基于其自相关系数可以自动调整的无机适应性，对输入信号数值间进行优化搜索，在强调当期对近期依赖性的同时满足当期与远期的关联关系。对单变量、线性信号系统的实验表明通过矢量差分算法得出的映射回归方程，其统计特性更加优良，比广义差分法泛化能力更强，在响应分析时凸显了预测最优的特性，能够更好地刻画信号的变化规律。 参考文献 [1] COCHRANE D， ORCUTT 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