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标题 关于有心二次曲线的一个结论
范文

    叶萌

    【摘要】顾名思义,有心二次曲线,即有对称中心的二次曲线.而对称图形往往有很多优美的性质,引发人们无限的思考和遐想.笔者在做一道题目时对题目中的结论展开了拓展与探究,并总结出一个一般性结论.

    【关键词】有心二次曲线;切点弦;无穷远

    论题的导入

    题 已知圆C:x2+y2=1,直线l:x+y-3=0,P为l上任意一点,过P做圆C的两条切线,切点分别为A,B,切点弦AB的中点为M.当P变化时,求M的轨迹方程.

    解 设P(a,b),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).则PA直线方程为x1x+y1y=1,PB直线方程为x2x+y2y=1,PA,PB都经过P点,故x1a+y1b=1,x2a+y2b=1,由两点确定一条直线得切点弦方程为ax+by=1.代入M(x0,y0)得ax0+by0=1.而由射影定理OA2=OM·OP知1=x20+y20·a2+b2.即1=(x20+y20)(a2+b2)=(x0a+y0b)2+(y0a-x0b)2=1+(y0a-x0b)2.

    ∴(ay0-bx0)2=0,即ay0-bx0=0,联立y0a-x0b=0,x0a+y0b=1,得a=x0x20+y20,b=y0x20+y20,又P为直线l:x+y-3=0上的点,代入得到x20+y20-x0+y03=0.故M的轨迹方程为x2+y2-x+y3=0.

    一般地,我们把方程形如u(x-m)2+v(y-n)2=1(u,v不同时为负)的曲线称为有心二次曲线,其中点(m,n)称为曲线的中心,并给出以下结论:

    结论 对有心二次曲线Γ:u(x-m)2+v(y-n)2=1,P为Γ外直线l:Ax+By+C=0上任意一点,过P做Γ的两条切线,切点分别为S,T.则切点弦ST的中点ω的轨迹仍为有心二次曲线,且其轨迹方程为:

    u(x-m)2+v(y-n)2+A(x-m)+B(y-n)Am+Bn+C=0.

    证明 从定义我们可以看到S,T为ω的相关点,而Γ为S,T的相关曲线,并且S与T由P和Γ唯一确定,P又为l上任意一点,故经过ω的二次曲线系方程可设为:

    u(x-m)2+v(y-n)2-1+μ(Ax+By+C)=0.(·)

    到这里,我们已经可以确定ω的轨迹为有心二次曲线,接下来如何找到恰到好处的条件解出μ成为关键.

    事实上,根据射影几何观点,Γ固定,当l上的点P趋向于无穷远时,其两条切线可视为平行,而当有心二次曲线的两条切线平行时,其切点弦必过曲线中心.()

    ()的证明也很容易:对有心二次曲线Γ:u(x-m)2+v(y-n)2=1,

    两边同时对x求导得2u(x-m)+2v(y-n)·y′=0,设S,T的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则u(x1-m)+v(y1-n)·y′=0, (a)u(x2-m)+v(y2-n)·y′=0.(b)

    (a)+(b)2得ux1+x22-m+vy1+y22-n·y′=0.

    当y′变化时,ST中点的轨迹恒经过点(m,n).

    将(m,n)代入(·),解得μ=1Am+Bn+C,则ω的轨迹方程为

    u(x-m)2+v(y-n)2+A(x-m)+B(y-n)[]Am+Bn+C=0(注:方程经(m,n)但其轨迹抠去此点).

    【参考文献】

    [1]陈天雄.有心二次曲线的直径式定义和直径式方程——对一道习题的研究性学习[J].数学教学,2004(5):41-43.

    [2]张文海.有心二次曲线的一个有趣性质[J].中学数学研究,2012(8):33-35.

    [3]金益.有心二次曲线的一个定值性质[J].中学数学月刊,2013(6): 46-47.

    [4]谢鹏作.有心二次曲线的一个性质[J].河北理科教学研究,2013(5):50-51.

    [5]王伯龙.有心二次曲线焦点三角形面积的一个计算公式[J].数学通讯,2011(22):43.

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更新时间:2025/3/15 2:42:36