标题 | 基于χ2拟合法的驾校考试名额分配模型 |
范文 | 汪亚东 【摘要】本文应用χ2拟合法对驾校考试名额进行分配,比之传统的比例分配法更具公平性. 【关键词】名额分配;χ2拟合优度 一、问题的提出 按照目前管理规定,驾照的获得要通过“科目一”“科目二”“科目三”和“科目四”4门考试,考试依次进行,前科通过方能进入下科考试.“科目二”为场地考试,考试中心由于场地所限,每批分配的考试名额指标按照各驾校前期的通过率来操作,而且所分配的指标不能满足学员的需求.从驾校方面来说,如何合理分配“科目二”的考试名额指标,提高通过率,进而获得更多的下期考试中心名额指标,进入良性循环发展是极为重要的. 我校机电学院卓越驾校现有教练39位,每位教练所带学员数及前期通过率见表1,学员共计269人,现有208个考试名额指标,如何分配名额指标更具公平合理性? 二、模型建立及求解 名额分配问题就是研究名额如何分配,公平性是其基本要求.因此,驾校在分配指标时要公平、合理,综合考虑教练所带学员的多少、教练水平等因素进行.最早的名额分配采用比例分配方法,随之发现这种方法易出现矛盾结果——亚拉巴马悖论.为了解决这一矛盾,1974年公平分配的五条公理产生(即人口单调性、无偏性、名额单调性、公平分摊性和接近份额数).1982年有学者提出了Q方法,同年证明了“B—Y不可能原理”,即同时满足五条公理的分配方案是不存在的,因此,绝对公平是没有的,这样相对公平性就变得重要了.前面提到的Q方法就是构造了相对公平系数,通过比较这个系数来进行分配.同样,随后产生的Dhondt法、新Q值法、相对尾数法、最大概率法、最大熵法、最小极差法、遗传算法、0-1规划法及χ2拟合法等等,大都是基于相对公平意义的方法.在与驾校管理方的研讨并比较各方法的优劣后,本文采用χ2拟合法来进行名额分配. (一)模型假设与符号设定 1.模型假设 (1)每个教练的学员之间没有差异; (2)教练间的差异由其学员的通过率决定; (3)学员均已通过“科目一”考试; (4)每个教练的通过率由“科目一”“科目二”“科目三”共同确定. 2.符号设定 N——考试中心分配的当期名额; m——驾校的教练数; pi——教练Ai的学员数; ri——教练Ai的综合通过率; ni——教练Ai的名额分配数. (二)2χ2拟合法及其解法 1.χ2拟合法模型 根据某项指标,总体X被分为m类:A1,…,Am,要检验X的分布:即Ai在总体中所占的比例pi(i=1,…,m).提出假设H0:类Ai所占的比例为pi,∑mi=1pi=1.现从总体X中随机抽取n个个体,属于类Ai的有ni个,n=∑mi=1ni,则统计量χ2=∑mi=1(ni-npi)2npi在H0为真时服从自由度为m-1的χ2分布. 由数理统计理论可知,χ2值反映了实际分配数与理论分配数的吻合程度:其值越小,两者之差越小,反之两者之差越大.因此,名额分配问题的数学模型为P1: 2.模型P1的求解 (1)模型的转化: 模型P1通过数学软件求解,但实际操作有一定的难度.下面对模型进行转化,使操作更为方便. 假设N个名额时分配给教练Ai为ni(i=1,…,m)是公平合理的,现考虑增加一个名额,记增加一个名额时教练Ai的名额为n′i(i=1,…,m),不妨假设这名额分配给教练Ak,令 n′i=ni, i≠k,ni+1, i=k. 则对模型P1,考虑统计量χ2k=∑mi=1[(N+1)pi-n′ipi]2(N+1)pi,k=1,…,m. 要比较其值的大小实际是比较2nk+1pk的大小,即2nk+1pk越小与原假设H0的吻合程度越好.故将wk=2nk+1pk作为衡量公平程度的标准,每分配一个名额时均计算wk,将其分配给wk最小的教练. (2)算法: 模型P1的方法是动态的,名额逐次进行分配: 步骤1 初始化:参与名额分配的教练向量A=(p1,…,pm)′及分配名额数N,初始分配向量n(0)=(0,…,0)′,k=0. 步骤2 终止准则:k=N或者∑ni=N. 步骤3 计算wk:wi(k)=2ni(k)+1pi. 步骤4 比较wk:记s={i|minwi1≤i≤m(k)},令ns(k+1)=ns(k)+1. 步骤5 循环:令k=k+1,转步骤2. 三、模型的计算结果及分析 依据上面的算法采用Matlab编程计算得到模型结果如表1,序号i对应教练Ai,第2列为教练Ai所带的学员数,表中后两列是对教练Ai的考试分配名额,其中“分配名额1”为用χ2拟合法的分配名额,“分配名额2”为用传统的比例分配法的分配名额.两种方法的结果具有明显的差异性:χ2拟合法恰好分配完名额,然而用比例法分配的总数为206人,剩余2人由于同比例数超过2而不能分配下去,只能采用不完全分配法. 【参考文献】 [1]王若鹏,徐红敏.基于χ2拟合优度检验的席位公平分配模型[J].系统工程理论与实践,2014,34(7):1732-1738. [2]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京:高等教育出版社,2005. |
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