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标题 第849号数学问题的推广与探究
范文

    黄殷

    

    

    

    【摘要】《数学教学》2012年第2期曾刊登了第849号数学问题:已知⊙O的非直径弦AC与BD相交于点M,射线BA与CD相交于点P,过点A,C作⊙O的切线相交于点N,过点B,D作⊙O的切线相交于点Q,求证:P,Q,N三点共线.笔者利用几何画板,发现椭圆也有类似性质,并把这个性质拓展到双曲线、抛物线,最后证明得出其成立.

    【关键词】非直径弦;非中心弦;切线;三点共線

    《数学教学》2012年第2期曾刊登了第849号数学问题:已知⊙O的非直径弦AC与BD相交于点M,射线BA与CD相交于点P,过点A,C作⊙O的切线相交于点N,过点B,D作⊙O的切线相交于点Q,求证:P,Q,N三点共线.

    笔者利用几何画板,发现椭圆也有类似性质,并把这个性质拓展到双曲线、抛物线,在这里把它记录下来,供大家参考.

    命题1 已知椭圆的非中心弦AC与BD相交于点M,如图1,射线BA与CD相交于点P,过点A,C作椭圆的切线相交于点N,过点B,D作椭圆的切线相交于点Q,则P,Q,N三点共线.

    证明 设A(acos α,bsin α),B(acos β,bsin β),C(acos γ,bsin γ),D(acos θ,bsin θ),其中0<α<β<γ<θ≤2π.

    直线AC,BD的方程分别为:

    y-bsin α=b(sin α-sin γ)a(cos α-cos γ)(x-acos α),①

    y-bsin β=b(sin β-sin θ)a(cos β-cos θ)(x-acos β).②

    联立①②解方程组,得点M的坐标为:

    x0=sin(α-γ)(cos β-cos θ)+sin(β-θ)(cos γ-cos α)sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-θ)+sin(θ-α)a=sin α+γ2cos β-θ2-cos α-γ2sin β+θ2sin α-β2+γ-θ2a

    =sin α+β+γ-θ2+sin α+γ+θ-β2-sin α+β+θ-γ2-sin β+γ+θ-α22sinα-β2+γ-θ2a,

    y0=sin(α-γ)(sin β-sin θ)+sin(β-θ)(sin γ-sin α)sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-θ)+sin(θ-α)b=cos α-γ2cos β+θ2-cos α+γ2cos β-θ2sinα-β2+γ-θ2b

    =cos α+β+θ-γ2+cos β+γ+θ-α2-cos α+β+γ-θ2-cos α+γ+θ-β22sinα-β2+γ-θ2b.

    又因为直线AB,CD的方程分别为:

    y-bsin α=b(sin α-sin β)a(cos α-cos β)(x-acos α),???? ③

    y-bsin γ=b(sin γ-sin θ)a(cos γ-cos θ)(x-acos γ).④

    联立③④解方程组,得点P的坐标为:

    x1=sin α+β+γ-θ2+sin α+β+θ-γ2-sin α+γ+θ-β2-sin β+γ+θ-α22sinα-γ2+β-θ2a,

    y1=cos α+γ+θ-β2+cos β+γ+θ-α2-cos α+β+γ-θ2-cos α+β+θ-γ22sinα-γ2+β-θ2b.因为

    x1x0=sin α+β+γ-θ2-sin β+γ+θ-α22-sin α+γ+θ-β2-sin α+β+θ-γ224sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2a2=cos β+γ2sin α-θ22-cos α+θ2sin γ-β22sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2a2,

    y1y0=cos β+γ+θ-α2-cos α+β+γ-θ22-cos α+γ+θ-β2-cos α+β+θ-γ224sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2b2=sin β+γ2sin α-θ22-sin α+θ2sin γ-β22sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2b2,

    则x0x1a2+y0y1b2=sin α-θ22-sin γ-β22sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2=cos(γ-β)-cos(α-θ)2sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2

    =2sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ22sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2=1.

    所以,点P在直线l:x0xa2+y0yb2=1上.

    又因为过点A,C的切线方程分别为:

    xcos αa+ysin αb=1,⑤

    xcos γa+ysin γb=1.⑥

    联立⑤⑥解方程组,得点N的坐标为:

    x2=a(sin α-sin γ)sin(α-γ)=cos α+γ2cos α-γ2a,

    y2=-b(cos α-cos γ)sin(α-γ)=sin α+γ2cos α-γ2b.

    因为

    x0x2=sin α+γ2cos β-θ2-cos α-γ2sin β+θ2cos α+γ2sinα-β2+γ-θ2cos α-γ2a2,

    y0y2=cos α-γ2cos β+θ2-cos α+γ2cos β-θ2sin α+γ2sinα-β2+γ-θ2cos α-γ2b2,

    则

    x0x2a2+y0y2b2=sin α+γ2cos β+θ2-cos α+γ2sin β+θ2cos α-γ2sinα-β2+γ-θ2cos α-γ2=1.

    所以,点N在直线l:x0xa2+y0yb2=1上.

    同理可证,点Q也在直线l上.

    所以,P,Q,N三点共线.

    双曲线和抛物线也有类似的性质.

    命题2 已知双曲线的非中心弦AC与BD相交于点M,如图2,射线BA与CD相交于点P,过点A,C作双曲线的切线相交于点N,过点B,D作双曲线的切线相交于点Q,则P,Q,N三点共线.

    命题3 已知抛物线的弦AC与BD相交于点M,如图3,直线BA与CD相交于点P,过点A,C作抛物线的切线相交于点N,过点B,D作抛物线的切线相交于点Q,则P,Q,N三点共线.

    证明 设Ay2A2p,yA,By2B2p,yB,Cy2C2p,yC,Dy2D2p,yD,其中yA+yC≠0,yA+yD≠0,yB+yC≠0,yB+yD≠0,yA+yC≠yB+yD,yA+yB≠yC+yD.

    直线AC,BD的方程分别为:

    y-yA=2pyA+yCx-y2A2p,

    y-yB=2pyB+yDx-y2B2p.

    联立解方程组,得点M的坐标为:

    x0=yAyC(yB+yD)-yByD(yA+yC)2p(yA+yC-yB-yD),

    y0=yAyC-yByDyA+yC-yB-yD,

    同理可得,直线AB,CD的交点P的坐标为:

    x1=yAyB(yC+yD)-yCyD(yA+yB)2p(yA+yB-yC-yD),

    y1=yAyB-yCyDyA+yB-yC-yD.

    因為

    p(x1+x0)=yAyC(yB+yD)-yByD(yA+yC)2(yA+yC-yB-yD)+yAyB(yC+yD)-yCyD(yA+yB)2(yA+yB-yC-yD)

    =y2AyByC-yAy2ByD-yAy2CyD+yByCy2D(yA+yC-yB-yD)(yA+yB-yC-yD),

    y0y1=(yAyC-yByD)(yAyB-yCyD)(yA+yC-yB-yD)(yA+yB-yC-yD)=y2AyByC-yAy2ByD-yAy2CyD+yByCy2D(yA+yC-yB-yD)(yA+yB-yC-yD),则y0y1=p(x1+x0).

    所以,点P在直线l:y0y=p(x+x0)上.

    又因为过点A,C的切线方程分别为:

    yAy=px+y2A2p,yCy=px+y2C2p.

    联立解方程组,得点N的坐标为:

    x2=yAyC2p,y2=yA+yC2.

    因为

    p(x2+x0)=yAyC2+yAyC(yB+yD)-yByD(yA+yC)2(yA+yC-yB-yD)=y2AyC+yAy2C-yAyByD-yByCyD2(yA+yC-yB-yD),

    y0y2=(yA+yC)(yAyC-yByD)2(yA+yC-yB-yD)=y2AyC+yAy2C-yAyByD-yByCyD2(yA+yC-yB-yD).

    则y0y2=p(x2+x0).

    所以,点N在直线l:y0y=p(x+x0)上.同理可证,点Q也在直线l上.

    所以,P,Q,N三点共线.

    在解析几何中,圆、椭圆、双曲线和抛物线有很多相似的共性,我们只要通过大胆地猜想和细心地论证,定能发现更多美妙的结论.

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更新时间:2025/3/14 4:03:21