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标题 浅谈行列式的计算方法
范文

    卞兰芸

    【摘要】 本文归纳总结了行列式的三种重要算法:化三角形法、加边法和范德蒙行列式法,并通过例子说明了这些方法在解决各类问题中的应用.

    【关键词】 行列式;加边法;范德蒙行列式

    行列式的计算是线性代数中的一个重要问题,在数学的各类分支中有极为广泛的应用.但行列式的计算方法很多且灵活多变,需要有较强的解题技巧.本文介绍了三类重要算法,并通过实例加以说明.

    一、化三角形法

    化三角形法就是利用行列式的性质将原行列式化成上(下)三角形行列式[1]计算的一种方法.根据上(下)三角形行列式元素的特点和结果的特殊性,用此种方法的主要过程就是化零元素,对一些特殊的行列式特别适用.

    例1 计算爪型行列式[2]Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n .

    分析 化此行列式為上三角形的过程就是要把主对角线以下的第一列的n-1个1化为0,但要同时保证主对角线以下的其他零元素不变.这里只有依次做列运算c1- 1 j cj (j=2,3,…,n)才可实现.

    Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n = 1-∑ n j=2 1 j 1 1 … 10 2 0 … 00 0 3 … 0 0 0 0 … n

    =n! 1-∑ n j=2 1 j .

    二、加边法

    加边法又叫作升阶法,即给原n阶行列式加一行一列得到n+1阶行列式并使其值不变.

    例2 计算行列式

    Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an .

    分析 此行列式的特点是主对角线上的元素是1+a1,主对角线外其他元素全为1,则可加元素全为1的一行,利用性质将其化为例1中的类型.

    Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an

    = 1 1 1 … 1-1 a1 0 … 0-1 0 a2 … 0 -1 0 0 … an

    =a1a2…an 1+∑ n i=1 1 ai .

    三、范德蒙行列式法

    著名的范德蒙公式是:

    Dn= 1 1 1 … 1x1 x2 x3 … xnx21 x22 x23 … x2n xn-11 xn-12 xn-13 … xn-1n =∏ 1≤j

    范德蒙行列式的结构特点是:第一行元素全为1,第二行元素为n个数,第三行元素为n个数的2次方,依此类推,第n行元素为n个数的n-1次方.若行列式的各行(列)中出现有规律的元素的k次方,我们往往都会用到范德蒙行列式法.

    例3 计算行列式

    Dn+1= an (a-1)n (a-2)n … (a-n)nan-1 (a-1)n-1 (a-2)n-1 … (a-n)n-1 a a-1 a-2 … a-n1 1 1 … 1 .

    分析 可将行列式的行依次交换成标准的范德蒙行列式,这个行交换过程共需做n+(n-1)+…+1= n(n+1) 2 次.

    Dn+1=

    (-1) n(n+1) 2 1 1 1 … 1a a-1 a-2 … a-na2 (a-1)2 (a-2)2 … (a-n)2 an (a-1)n (a-2)n … (a-n)n

    =∏ n+1≥i,>j≥1 (i-j).

    矩阵中的很多问题可以借助行列式的计算解决,比如判定方阵的可逆性、求矩阵对应的向量组的线性相关性等,因此,行列式的计算极为重要.在计算行列式时,我们要把握行列式的特点,灵活选用适当的方法进行计算.

    【参考文献】

    [1]陈绍林,唐道远.线性代数[M].北京:科学出版社,2014.

    [2]李师正.高等代数复习解题方法与技巧[M].北京:高等教育出版社,2005.

    

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更新时间:2025/3/11 21:17:08