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标题 三角形内心有关难题的简证
范文

    苏昌盛

    

    

    【摘要】本文先证两个定理,再利用定理证明两道有关三角形内心的难题.

    【关键词】三角形内角平分线;三角形内心;不等式

    在竞赛辅导中,笔者发现与三角形内心I有关的一类不等式经常出现,在数学杂志的征解题中经常出现与三角形内心I有关的难题,证法颇具难度.本文提出两个定理,利用定理巧解此类难题.

    同理可证其余结论.

    问题1已知△ABC,设I是它的内心,∠A,∠B,∠C的平分线分别交其对边于点A′,B′,C′,求证:14

    证明本题证法甚多,朱华伟老师给出四种巧妙证法(详见文[1]),本文利用定理1予以简洁新证.根据定理2,原不等式等价于

    14

    左不等式14<∏(b+c)(∑a)3(∑a)3<4∏(b+c)P+6Q+3R<4(2Q+R)P<2Q+R.

    根據定理1(2):P+2Q

    右不等式

    ∏(b+c)(∑a)3≤82727∏(b+c)≤8(∑a)3

    27(2Q+R)≤8(P+6R+3R)

    3R+6Q≤8P.

    根据定理1(1):R≤2P,3Q≤P,

    立知3R+6Q≤3·2P+2P=8P.

    综上,问题1获证.

    问题2△ABC的内心为I,内角平分线AD,BE,CF与边相交于D,E,F,求证:32≤IDIA+IEIB+IEIC<2.(《数学通报》数学问题第849号)

    证明续铁权老师利用凸函数的一个控制不等式给了一个巧证(详见文[2]),现利用定理2、定理1证明.

    原不等式等价于

    根据定理1(2),R>P+2Q,故P

    综上所述,问题2获证.

    问题3在△ABC中,三条内角平分线AA′,BB′,CC′交于点I,求证:54

    证明刘允松老师给了一个简洁证明(详见文[3]).

    根据定理1、2,知该不等式等价于

    根据定理1(1),R≤2P,又5R≤5(P+3Q),叠加而得到6R≤7P+15Q.

    综上所证,问题4获证.

    【参考文献】

    [1]朱华伟.奥林匹克数学的基本特征(三)——问题的研究性[J].中学数学,1995(5):39-42.

    [2]续铁权.关于凸函数的一个控制不等式[J].数学通报,1995(7):42-46.

    [3]刘久松.巧证一组三角形趣题[J].中学数学,1995(8):39-40.

    

    

    

    

    

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更新时间:2025/3/22 4:04:18