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微积分教学专业化探索

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【摘要】微积分是大学基础数学中的一门主要理论课程，传统的微积分强调基本定义、定理及其证明，导致这门课程的专业服务性价值没有很好地体现出来.本文以微积分中的泰勒公式在计算机专业中的应用为例，对微积分的专业化探索起到抛砖引玉的效果.

【关键词】微积分；专业化；泰勒公式

【基金项目】项目名称：上海市高校青年教师培养资助计划（高校线性代数课程教学专业化研究）；项目编号：ssy11021.

微积分是大学基础数学中的一门主要理论课程，在普通高等院校本科生各专业中普遍开设，在培养具有良好数学素质的应用型人才方面起着特别重要的作用.因此，微积分的教学内容和方向一直是高校数学教师们十分关心的问题.

传统的微积分教学偏重自身的理论体系，强调微积分的基本定义、定理及其证明，教学内容层层递进，逻辑性非常强，学生可以学到完整的微积分知识体系，但由于教学中缺乏与专业相关的内容，各种版本教材甚少与学生所学专业领域相关，导致这门课程的专业服务性价值没有很好地体现出来.因此，在统一教材的基础上，开发出具有专业特色的微积分教学模块变得尤为重要，本文正是对微积分在计算机专业的教学中的应用进行探索.

本文介绍计算机是如何计算三角函数和反三角函数的，计算机只能计算加法，其他形式的运算（减、乘、除等），都要转换为加法进行运算.对三角函数的求解需要将三角函数转换为多项式的运算，泰勒公式提供了理论依据.

泰勒（Taylor）中值定理：如果函数f（x）在含有x0的某个开区间（a，b）内具有直到（n+1）阶的导数，则对任一x∈（a，b），f（x）可以表示为（x-x0）的一个n次多项式与一个余项Rn（x）之和：f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+Rn（x），

其中Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1（ξ在x0与x之间）.

f（x）=∑nk=0f（k）（x0）k！（x-x0）k+Rn（x）

称为f（x）按（x-x0）的幂展开的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，而Rn（x）的表达式称为拉格朗日余项.

在泰勒公式中，如果取x0=0，则ξ在0和x之间.因此，可以令ξ=θx（0<θ<1），從而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓的带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式：

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+f（n+1）（θx）（n+1）！xn+1（0<θ<1），

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+o（xn）.

由上式可以得到近似公式：

f（x）≈f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn.

从泰勒中值定理可以知道，如果函数f（x）在含有x0的某个开区间（a，b）内具有直到（n+1）阶的导数，就可以将其求解转换为多项式进行计算，求解的精度取决于函数多项式展开的阶数，并且误差为拉格朗日余项的值，这样为三角函数的计算机数值求解提供了方法，我们可以将三角函数用泰勒公式展开，然后转换为多项式进行求解.

本文以正弦函数为例，介绍求解过程，sin（x）展开为带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林（Maclaurin）公式：

sin（x）=x-x33！+x55！-…+（-1）m-1x2m-1（2m-1）！+R2m，

其中误差R2m为R2m（x）=sinθx+（2m+1）π2（2m+1）！x2m+1=（-1）m-1cosθx（2m+1）！x2m+1（0<θ<1）.

这样我们就可以根据需要的精度对sin（x）进行展开，因为展开的阶数越多精度越高，但是，运算的时间就会更长，因为sin（x）等三角函数是计算机数值求解中常用的函数，在一个求解过程中会很多次地使用，同时，很多计算是有实时性要求的，就是说一个计算要在规定的时间内执行完成，这样就需要找到合适的阶数对正弦函数进行展开.

下面本文以C语言为例，讲解C语言实现sin（x）的过程.

#include///标准输入输出头文件

#include///数学相关头文件

#define COUNT 3///计算的次数，次数越多，精度越高，为3时，正好是5阶

///求n的阶乘，输入n，返回n的阶乘

int factorial（int_n）

{

///定义返回值，当n小于等于1时，初值为1

int result=1；

while（_n>1）

{

result*=_n；

_n-=1；

}

return result；///返回计算结果

}

//#define M_PI3.14159265358979323846/*pi*/定义在math.h中

///正弦函数，输入为角度值，为简化处理，输入的值限制在[0，90]范围

double sin（double_arc）

{

///角度转换为弧度

_arc=（_arc*M_PI）/180；

///返回结果变量，为简化计算，初值为传入的弧度值

double result=_arc；

///循环进行计算，每一次循环，精度会增加

for（int i=1，sign=-1；i

{

int orderNumer=2*i+1；///orderNumer为计算的阶数，在正弦函数中，偶数项为0，只需要计算奇数项的值

_arc+=sign*（1.0/factorial（orderNumer）*pow（_arc，orderNumer））；

}

///当COUNT=3时，以上循环等价于下面的计算公式

///result=_arc-（1.0/factorial（3））*pow（_arc，3）+（1.0/factorial（5））*pow（_arc，5）；

return result；///返回计算结果

}

以上是用C语言实现的正弦函数的算法代码，可以通过COUNT变量控制求解的精度，让学生更加深刻地理解泰勒公式的含义与应用，其他的三角函数和反三角函数可以通过类似的方法进行计算，本文不再进行展开.

C语言是计算机专业的一门基础编程语言，通过C语言实现求解过程，可以使计算机专业的学生更深入地了解泰勒公式及其表达的含义，以及结合自己的专业知识运用泰勒公式，提高学习的兴趣；更进一步，可以推广到将微积分的知识应用到计算机专业的学习中，为微积分专业化探索起到抛砖引玉的作用.

微积分是大学数学的一门基础课程，本文通过其中的一个知识点泰勒公式，对泰勒公式在计算机专业的应用进行展开，丰富了微积分课程与计算机专业的相关内容，更好地体现了这门课程的专业服务性价值.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学·上册[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]尹雪.线性代数教学专业化探索[J].数学学习与研究，2013（5）：16.

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