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标题 矩阵的非常规转置
范文

    孙丹

    【摘要】本文從矩阵的常规转置(主转置),延拓到矩阵的非常规转置(次转置、行转置、列转置).经过深入探讨,给出了它们的妙趣横生的颇有意义的一系列结论,并予以技巧各异的论证,其中以行转置和列转置二者的关系最为奇妙.此后又由常规的对称阵和反对称阵,给出次转置的次对称阵与反次对称阵的定义及其相关结论.

    【关键词】次转置;行转置;列转置;次对称阵;反次对称阵

    一、引 言

    矩阵的转置(常规转置或主转置)是矩阵论的重要组成部分.笔者联想到矩阵的非常规转置(次转置、行转置、列转置),给出它们的定义,并经过长期深入的研究与探讨,给出了它们的一系列妙趣横生的颇有意义的诸多结论.对其中显而易见者,我们免去其证明;有些我们则以例代证,以方便读者;对行、列均有的成套结论,我们仅对行证,因为对列同理;对多数结论,我们不惜篇幅,均予以技巧各异的论证.最后由常规的对称阵和反对称阵,给出次转置的次对称阵与反次对称阵的定义及相关结论.

    二、预备知识

    为方便比较与研究,我们不妨先给出如下的定义:

    (一)设矩阵A=(ai j)m n,把A的行变为列所得到的阵AT=(aj i)n m叫作矩阵A的转置(常规转置或主转置).

    (注:“T”为“Transposed”的第一个字母)

    (二)设矩阵A=(ai j)m n,以其次对角线为轴,左上和右下的元素对应互换所得到的阵AS=(an-j+1 m-i+1)n m叫作矩阵A的次转置.

    (注:“S”为“Sub-transposed”的第一个字母)

    例如,

    A=3-102-2014-64-20,

    AS=042-21040-1-6-23 .

    (三)设矩阵A=(ai j)m n,以其中间行或中间两行的“空”为轴,上下等距离的行对应互换所得到的阵AH=(am-i+1 j)m n叫作矩阵A的行转置.

    (注:“H”为“Horizontal transposed”的第一个字母)

    例如,

    A=3-102-2014-64-20,

    AH=-64-20-20143-102,

    B=-1321-201-343350-2120-16-4,

    BH=20-16-4350-2101-343-1321-2 .

    (四)设矩阵A=(ai j)m n,以其中间列或中间两列的“空”为轴,上下等距离的列对应互换所得到的阵AV=(ai n-j+1)m n叫作矩阵A的列转置.

    (注:“V”为“Vertical transposed”的第一个字母)

    例如,

    A=3-102-2014-64-20,

    AV=20-13410-20-24-6,

    B=-1321-201-343350-2120-16-4,

    BV=-2123-134-3101-2053-46-102 .

    矩阵的常规转置(主转置)的诸多结论读者是知晓的,这里无须一一列出.

    三、若干结论

    下面给出矩阵的次转置、行转置、列转置的相关结论.下文所涉及的矩阵,有时是长方阵,有时是方阵,这对读者是不说自明的.

    (一)次转置

    1.(AS)S=A.

    2.(aA)S=aAS.

    3.(A+B)S=AS+BS.

    4.r(AS)=r(A).(r(A)表示阵A的秩)

    5.r(AAS)=r(ASA)=r(A).

    6.(AB)S=BSAS.

    (注:3,6可推广到有限多个)

    例1 已知A=3-102-2014-64-20,

    B=-1321-201-343350-2120-16-4,

    则有

    (AB)S=22-11-17142011-24-87-24-180131,

    BSAS=22-11-17142011-24-87-24-180131=(AB)S.

    7.|AS|=|A|.

    例2 已知C=143254432,则有|C|=-35,

    |CS|=243354421=-35=|C|.

    8.(AS)*=(A*)S.

    证明 令A=(ai j)n n,则AS=(an-j+1 n-i+1)n n,

    (AS)*=(-1)1+1an-1 n-1…a1 n-1

    ………

    an-1 1…a1 1…

    (-1)n+1an-1 n…a1 n

    ………

    an-1 2…a1 2

    ………

    (-1)1+nan n-1…a2 n-1

    ………

    an 1…a2 1…

    (-1)n+nan n…a2 n

    ………

    an 2…a2 2

    =(-1)n+na1 1…a1 n-1

    ………

    an-1 1…an-1 n-1…

    (-1)1+na1 2…a1 n

    ………

    an-1 2…an-1 n

    ………

    (-1)n+1a2 1…a2 n-1

    ………

    an 1…an n-1…

    (-1)1+1a2 2…a2 n

    ………

    an 2…an n

    =An n…An 1

    ………

    A1 n…A1 1=(A*)S.

    9.若A可逆,则AS也可逆,且(AS)-1=(A-1)S.

    证明 由A可逆,则|A|≠0,进而|AS|≠0,于是AS可逆.

    则(AS)-1=(AS)*|AS|=(A*)S|A|=(A-1)S,

    所以AS也可逆,且(AS)-1=(A-1)S.

    10.若A可逆,a≠0,则aAS也可逆,且(aAS)-1=a-1(A-1)S.

    证明 由A可逆,则AS也可逆,进而|AS|≠0,则|aAS|≠0,

    于是aAS也可逆.

    则(aAS)[a-1(AS)-1]=aa-1[AS(AS)-1]=AS(A-1)S=(A-1A)S=E,

    所以aAS也可逆,且(aAS)-1=a-1(A-1)S.

    11.|(AS)-1|=|AS|-1(A为可逆阵).

    证明 由A可逆,则|A|≠0,AS可逆,且|AS||(AS)-1|=E.

    于是|AS(AS)-1|=|E|=1.

    由|AS|=|A|,且|A|≠0,

    所以|(AS)-1|=|AS|-1.

    12.如果A与B均为n阶可逆阵,则ASBS也可逆,且(ASBS)-1=(BS)-1(AS)-1.

    证明 由A,B均可逆,则AS,BS也可逆.

    又由|ASBS|=|(BA)S|=|AB|≠0,

    知ASBS可逆,则

    (ASBS)[(BS)-1(AS)-1]=AS[BS(BS)-1](AS)-1=(A-1A)S=E,

    所以ASBS也可逆,且(ASBS)-1=(BS)-1(AS)-1.

    13.若n阶方阵A与B可交换,A可逆,则(AS)-1与BS可交换.

    证明 由AB=BA,知AA-1B=BAA-1=ABA-1,

    两边取次转置,得BS(A-1)SAS=(A-1)SBSAS,

    右乘(AS)-1,得BS(A-1)S=(A-1)SBS,

    即BS(AS)-1=(AS)-1BS,所以(AS)-1与BS可交换.

    14.若n阶方阵A与B相似,则AS与BS也相似.

    证明 由A与B相似,知存在n阶可逆阵Q,使B=Q-1AQ,两边取次转置,得

    BS=(Q-1AQ)S=QSAS(Q-1)S=[(QS)-1]AS(QS)-1,

    所以AS与BS也相似.

    15.若λ是n阶方阵A的特征值,则λ也是AS的特征值.

    证明 由|(λE-A)S|=|λE-AS|及|(λE-A)S|=|λE-A|,

    则|λE-AS|=|λE-A|,

    即AS与A有相同的特征值,所以λ也是AS的特征值.

    (二)行转置和列转置

    1.(AH)H=A,(AV)V=A.

    2.(aA)H=aAH,(aA)V=aAV.

    3.(A+B)H=AH+BH,(A+B)V=AH+BV.

    4.r(AH)=r(AV)=r(A).

    5.(AB)H=AHB,(AB)V=ABV.

    (注:3,5可推广到有限多个)

    例3 已知

    A=3-102-2014-64-20,

    B=-1321-201-343350-2120-16-4,

    则有BHAH无意义,

    AHB=0-24-241422

    13-1-820-11

    18711-17=

    (AB)H=0-24-241422

    13-1-820-11

    18711-17 .

    仅有

    AHB=01812-5222

    -8137-43

    11122-17≠

    (AB)H=0-24-241422

    13-1-820-11

    18711-17 .

    对一般情况,我们证明如下

    令A=(ai j)m p,B=(bi j)p n,

    则(AB)H=(∑pk=1am-i+1 kbk j)m n,

    AHB=(am-i+1 j)m p(bi j)p n=(∑pk=1am-i+1 kbk j)m n,

    所以(AB)H=AHB.

    6.|AH|=|AV|=(-1)n2|A|(其中n2是的Gauss函数值).

    证明 若n为奇数,则交换A的第1行与第n列,交换A的第2行与第n-1列,…,交換A的第n-12行与第n-32列,便得到AH,即对A进行了n-12次行对换后,A变为AH,此时n-12=n2.

    所以|AH|=(-1)n2|A|.

    若A为偶数,则n2是整数,此时对A进行了n2次行对换可得到AH,且n2=n2.

    所以|AH|=(-1)n2|A|.

    总之|AH|=(-1)n2|A|.

    例如,C=143254432,

    8.若A可逆,则AH可逆,AV可逆,且有(AH)-1=(A-1)V,(AV)-1=(A-1)H(A为可逆阵).

    证明 结论的前者是不证自明的,

    (AH)-1=(AH)*|AH|=[(-1)2n(A*)V][(-1)n2|A|]

    =A*|A|V=(A-1)V,

    所以AH可逆,AV可逆,且有(AH)-1=(A-1)V,(AV)-1=(A-1)H.

    行家们都知道,特殊矩阵是矩阵论的重要组成部分.下面类似对称阵与反对称阵,我们给出次对称阵与反次对称阵的定义及相关结论.

    (三)次对称阵与反次对称阵

    1.A=(ai j)n n叫作次对称阵,假若(ai j)n n=(an-j+1 n-i+1)n n.

    例5

    D=3-57

    1247-5

    4123 就是一个3阶次对称阵.

    2.A=(ai j)n n叫作反次对称阵,假若(ai j)n n=(-an-j+1 n-i+1)n n.

    (注:显然有ai n-i+1=0.)

    例6

    F=3-50

    -1205

    412-3

    就是一个3阶反次对称阵.

    说明:令Ei j意义如常,

    则gi j=1i=n-j+10i≠n-j+1.

    3.次对称阵

    (1)对n阶阵A,下列诸条件是等价的:

    ① A是次对称阵;

    ② AJ是对称阵;

    ③ JA是对称阵;

    ④ A=JATJ.

    (2)若A为次对称阵,则AT及A*亦然.

    (3)若A为n阶对称阵,且A可逆,则A-1也是次对称阵.

    (4)A,B均是次对称阵,则AB是次对称阵的充分必要条件是AB=BA.

    4.反次对称阵

    (1)对n阶阵A,下列诸条件是等价的:

    ① A是反次对称阵;

    ② AJ是反对称阵;

    ③ JA是反对称阵;

    ④ A=-JATJ.

    (2)若A为反次对称阵,则AT亦然.

    (3)奇数阶反次对称阵A的伴随矩阵A*是次对称阵,偶数阶反次对称阵A的伴随矩阵A*是反次对称阵.

    5.二者间的关系

    (1)若A,B均是次对称阵,则AB-BA是反次对称阵.

    (2)若A,B均是反次对称阵,则AB是次对称阵的充分必要条件是AB=BA.

    (3)若A,B中的一个是次对称阵,另一个是反次对称阵,则AB是反次对称阵的充分必要条件是AB=BA.

    我们知道,任一个方阵A都可唯一地表示为一个对称阵与一个反对称阵之和,类似地,我们有:

    (4)任一个方阵A都可唯一地表示为一个次对称阵与一个反次对称阵之和.

    (即A=A+AS2+A-AS2)

    四、结 论

    本文,我们从矩阵的常规转置(主转置)延拓到矩阵的非常规转置(次转置、行转置、列转置).经过笔者长期深入的研究与探讨,给出了它们的一系列妙趣横生的颇有意义的诸多结论.如,(AS)*=(A*)S,(aAS)-1=a-1(A-1)S,(AB)H=AHB,(AB)V=ABV, |AH|=|AV|=(-1)n2|A|,(AH)*=(-1)n2(A*)V,(AV)*=(-1)n2(A*)H,等等.它们有些是与主转置对应的,有些甚至是平行的,而行、列转置的很多结论中,有些是“对称”的,如此的关联,真可谓巧哉妙也.此后又由常规的对称阵和反对称阵,我们又给出次转置的次对称阵与反次对称阵的定义及相关结论.若读者有兴趣致力于这方面的研究,可進一步寻求其他结论.

    另外,我们还可以引申出次正定阵、次对称次正定阵、亚次正定阵等.它们已超出本文的既定宗旨,我们也把它们略去.对文中诸如此类问题,若有机会,笔者将再撰文奉献给尊敬的读者.

    矩阵论是数学领域中的一座宝山,本文只窥到这座宝山的极小部分,还有更多的“宝藏”,有待于勤奋的人们来“勘探”、去“开采”.希望本文能对读者研究矩阵论起到抛砖引玉的作用,这也是笔者写作的目的之一吧!

    【参考文献】

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    [2]孙宗明.高等代数的内容与方法.兰州大学出版社,1990:61-178.

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    [4]扬源淑,李先科.线形代数学习和解题指导.北京邮电大学出版社,1998:33-74.

    [5]胡金得,王飞燕.线性代数辅导.清华大学出版社,1995:1-133.

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    [8]Jerome E Kaufmann.College Algebra Second Edition[M].PWS-Kent Publishing Company,Boston,1990:381-404.

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更新时间:2025/3/11 0:25:13