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标题 平面向量解题策略例析
范文

    唐学宁

    【摘要】平面向量融数、形于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介.近几年高考试题中多以基底法、坐标法、数形结合法等考查平面向量的知识,下面分类介绍这几种方法.

    【关键词】平面向量;解题;策略

    一、基底法

    平面上任意一组不共线的向量构成一组基底,用基底可以表示平面上的所有向量.解决平面向量问题时,如果我们有意识地把一些向量转化为基底,往往能让问题变得直接明了,易于解决.

    例1设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为().

    A.1

    B.12

    C.13

    D.14

    分析根据题意,只需要把DE用一组基底AB,AC表示出来即可,而DE可以表示成DA+AE,所以只要用AB,AC表示出AE即可.

    解因为BE=23BC,所以AE=13AB+23AC,而DE=DA+AE=-12AB+13AB+23AC=-16AB+23AC,故λ1+λ2=-16+23=12,故选B答案.

    点评:若D在△ABC的边BC上,且BD∶DC=λ∶μ,则AD=μλ+μAB+λλ+μAC.特别地:当D为中点时,BD∶DC=1∶1,则AD=12AB+12AC.

    例2如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且AE∶EB=2∶1,BD与CE交于点P,若AP=xAB+yAC,则x-y=.

    分析本题其实是利用基底AB,AC表示出AP,注意到B,P,D与E,P,C三点共线,因此,使用三点共线来解.

    解AP=xAB+yAC=xAB+2yAD,而B,P,D三点共线,所以x+2y=1;同理,AP=xAB+yAC=32xAE+yAC,所以32x+y=1.

    因此,x+2y=1,3x2+y=1, 解得x=12,y=14, 因此,x-y=14.

    点评:如果A,B,C三点共线,且OA=xOB+yOC,则必有x+y=1,利用这个性质解决问题有时候可以达到事半功倍的效果.

    二、数形结合法

    “数”与“形”是数学的基本研究对象,它们之间存在着对立统一的辩证关系.数形结合思想,就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过对图形的认识、数形转化,以提高思维的灵活性、形象性、直观性,使问题化难为易,化抽象为具体.

    例3向量a=(2,0),b=(x,y),若b与b-a的夹角为π6,则|b|的最大值为().

    A.4

    B.23

    C.2

    D.433

    分析本题如果根据题目意思直接来解决,那首先求出向量b-a=(x-2,y),接着求数量积(b-a)·b=x2-2x+y2,利用夹角为30度得关系式x2-2x+y2x2+y2(x-2)2+y2=32,在此条件下求|b|=x2+y2的最大值.显而易见的繁、杂、难.

    解如图,因为b与b-a的夹角为π6,所以b的终点B构成以OA为一条固定弦、∠OBA=π6的圆,易知当OB为直径时最长,因此,由正弦定理得2R=OAsin30°=4.所以|b|的最大值为4.

    点评:向量融“数”“形”于一体,因此,向量中数形结合法使用非常多,比如,若条件给出|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边构成的平行四边形为矩形.若条件给出|a|=|b|=|a-b|,则以a、b为邻边构成的三角形为等边三角形等等.

    三、特殊图形法

    数学中通过设题中某个未知量为特殊值,经过简单的运算,得出最终答案的一种方法称之为特殊值法.

    例4如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则AP·AC=.

    分析初看本题,好似少了一个条件,使用基底法发现可以求出AP·AC=AP·(AB+AD)=AP·(AP+PB+AP+PD)=AP·(2AP+PB+PD)=2AP·AP+AP·PB+AP·PD=18,但是显得不够简便,考虑到平行四边形ABCD,如果我们选择最特殊的平行四边形,也就是正方形呢?

    解把平行四边形特殊化,取成如图所示正方形,满足题设条件AP⊥BD,又AP=3,所以AC=6,由此可知AP·AC=|AP|·|AC|=18.

    点评:如果使用向量数量积的几何意义解决本题也是不错的方法:记AC与BD交点为O,则AP·AC=2AO·AP=2|AO|·cosθ·|AP|=2|AP|·|AP|=2×3×3=18.

    四、坐标法

    直角坐标是平面向量中的一個重要工具,它将向量中的图形和代数巧妙地联系起来,不仅使一部分问题的解决变得容易,而且会给你一种新的启迪和数学美感.

    例5在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上两个动点,且满足|MN|=2,则BM·BN的取值范围为.

    分析如果采用基底法,由于CM与MA及CN与NA的比例不确定,因此,用BA与BC表示向量BM与BN较为烦琐.考虑到△ABC为等腰直角三角形且|MN|=2,如果使用坐标法可以很简单地建立坐标系,因此,可以考虑坐标法.

    解以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立如图直角坐标系,不妨设M为靠近y轴的点,坐标为M(x,y)(0≤x≤1);可知N(x+1,y-1),直线AC的方程为y=-x+2,于是

    BM·BN=x(x+1)+y(y-1)=x2+x+y2-y,

    =x2+x+(-x+2)2-(-x+2)

    =2x2-2x+2(0≤x≤1).

    当x=12时,(BM·BN)min=32,当x=0或x=1时,(BM·BN)max=2;即知BM·BN的取值范围32,2.

    近六年全国课标Ⅰ卷中对平面向量的考查,均为1个题,分值5分,其中2011年与2015年为选择题,其他年份均为填空题,题型结构十分稳定.从考点分布来看,均以向量的模与夹角、坐标运算、基底、共线等知识为主,本文抛砖引玉,希望大家举一反三.

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更新时间:2025/3/15 3:01:37