标题 | 圆锥曲线上某一点处的切线方程 |
范文 | 赵广华 尼志福 【摘要】在做解析几何大题时,需求曲线上某一点处的切线方程,那么圆锥曲线上某一点处的切线方程有没有一般形式呢?我们研究一下. 【关键词】切线方程 在做解析几何大题时,我们经常需要求曲线上一点处的切线方程.最常用的方法就是设出方程,然后联立直线方程与曲线方程,再利用Δ=0求解.这种做法思路简单,但运算量大,尤其当曲线方程含有参数时,运算量更大,更不易做对.那么圆锥曲线上某一点处的切线方程有没有一般形式呢?我们研究一下. 问题1求过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的切线方程. 解设M(x,y)是切线上任意一点,则OP·PM=0, 即(x0,y0)·(x-x0,y-y0)=0, 整理得x0x+y0y=x20+y20=1, 所以切线方程为x0x+y0y=1. 问题2求过圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的切线方程. 用解决问题1的方法我们可以得到问题2的答案(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 类比过圆上一点的切线方程的形式我们猜想. 结论1椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1. 结论2双曲线x2a2-y2b2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0xa2-y0yb2=1. 结论3抛物线y2=2px上一点P(x0,y0)处的切线方程为y0y=px+px0. 上述类比推理得到的结论是否正确?我们用大学的知识来证明一下. 证明椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1. ∵x2a2+y2b2=1, ∴等式两边同时对x求导得2xa2+2yy′b2=0, ∴y′=-b2a2·xy, ∴切线斜率k=y′|x=x0=-b2a2·x0y0, 切线方程为y-y0=-b2a2·x0y0(x-x0), 整理得x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2=1.结论得证. 用同样的方法我们也能证明结论2与结论3的正确性. 下面我们用上述结论小试牛刀.看2013年山东高考数学压轴题: 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为32,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程. (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明1kk1+1kk2为定值,并求这个定值. 解(1)椭圆C的方程为x24+y2=1. (2)m的取值范围-32,32. 我们重点看一下第三问. 设P(x0,y0),因为x24+y2=1,所以等式两边同时对x求导得2x4+2yy′=0,整理得y′=-x4y. 因此,直线l斜率k=y′|x=x0=-x04y0, k1=y0x0+3,k2=y0x0-3, 所以1kk1+1kk2=1k1k1+1k2 =-4y0x0x0+3y0+x0-3y0=-8, 即1kk1+1kk2為定值-8. 可见掌握上述结论对同学们在做圆锥曲线大题时有很大帮助,我们在学习过程中要不断总结,不断探究. |
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