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标题 圆锥曲线上某一点处的切线方程
范文

    赵广华 尼志福

    【摘要】在做解析几何大题时,需求曲线上某一点处的切线方程,那么圆锥曲线上某一点处的切线方程有没有一般形式呢?我们研究一下.

    【关键词】切线方程

    在做解析几何大题时,我们经常需要求曲线上一点处的切线方程.最常用的方法就是设出方程,然后联立直线方程与曲线方程,再利用Δ=0求解.这种做法思路简单,但运算量大,尤其当曲线方程含有参数时,运算量更大,更不易做对.那么圆锥曲线上某一点处的切线方程有没有一般形式呢?我们研究一下.

    问题1求过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的切线方程.

    解设M(x,y)是切线上任意一点,则OP·PM=0,

    即(x0,y0)·(x-x0,y-y0)=0,

    整理得x0x+y0y=x20+y20=1,

    所以切线方程为x0x+y0y=1.

    问题2求过圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的切线方程.

    用解决问题1的方法我们可以得到问题2的答案(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

    类比过圆上一点的切线方程的形式我们猜想.

    结论1椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.

    结论2双曲线x2a2-y2b2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.

    结论3抛物线y2=2px上一点P(x0,y0)处的切线方程为y0y=px+px0.

    上述类比推理得到的结论是否正确?我们用大学的知识来证明一下.

    证明椭圆x2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.

    ∵x2a2+y2b2=1,

    ∴等式两边同时对x求导得2xa2+2yy′b2=0,

    ∴y′=-b2a2·xy,

    ∴切线斜率k=y′|x=x0=-b2a2·x0y0,

    切线方程为y-y0=-b2a2·x0y0(x-x0),

    整理得x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2=1.结论得证.

    用同样的方法我们也能证明结论2与结论3的正确性.

    下面我们用上述结论小试牛刀.看2013年山东高考数学压轴题:

    椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为32,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

    (1)求椭圆C的方程.

    (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;

    (3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明1kk1+1kk2为定值,并求这个定值.

    解(1)椭圆C的方程为x24+y2=1.

    (2)m的取值范围-32,32.

    我们重点看一下第三问.

    设P(x0,y0),因为x24+y2=1,所以等式两边同时对x求导得2x4+2yy′=0,整理得y′=-x4y.

    因此,直线l斜率k=y′|x=x0=-x04y0,

    k1=y0x0+3,k2=y0x0-3,

    所以1kk1+1kk2=1k1k1+1k2

    =-4y0x0x0+3y0+x0-3y0=-8,

    即1kk1+1kk2為定值-8.

    可见掌握上述结论对同学们在做圆锥曲线大题时有很大帮助,我们在学习过程中要不断总结,不断探究.

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更新时间:2025/3/10 14:55:48